与えられた積分 $\int (x-2)(x^2 - 4x + 5)^7 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int (x-2)(x^2 - 4x + 5)^7 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、置換積分法を使って解くことができます。

$u = x^2 - 4x + 5$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 2x - 4 = 2(x - 2)$ となります。

したがって、$du = 2(x - 2) dx$ となり、$(x - 2) dx = \frac{1}{2} du$ となります。

与えられた積分を $u$ を使って書き換えると、

$\int (x - 2)(x^2 - 4x + 5)^7 dx = \int u^7 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^7 du$ となります。

$\int u^7 du = \frac{u^8}{8} + C$ （$C$ は積分定数）なので、

$\frac{1}{2} \int u^7 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^8}{8} + C = \frac{u^8}{16} + C$ となります。

最後に、$u$ を $x^2 - 4x + 5$ に戻すと、

$\frac{u^8}{16} + C = \frac{(x^2 - 4x + 5)^8}{16} + C$ となります。

3. 最終的な答え

$\int (x-2)(x^2 - 4x + 5)^7 dx = \frac{(x^2 - 4x + 5)^8}{16} + C$