以下の極限を求めます。 $\lim_{t \to \infty} \frac{1}{\sqrt{t^2+1}+t}$

1. 問題の内容

以下の極限を求めます。

$\lim_{t \to \infty} \frac{1}{\sqrt{t^2+1}+t}$

2. 解き方の手順

極限を求めるために、分母と分子を $t$ で割ります。

$\lim_{t \to \infty} \frac{1}{\sqrt{t^2+1}+t} = \lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t}}{\frac{\sqrt{t^2+1}}{t}+\frac{t}{t}}$

$t>0$ のとき $\frac{\sqrt{t^2+1}}{t} = \sqrt{\frac{t^2+1}{t^2}} = \sqrt{1+\frac{1}{t^2}}$ であることを利用します。

$\lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t}}{\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}+1}$

$t \to \infty$ のとき、$\frac{1}{t} \to 0$ かつ $\frac{1}{t^2} \to 0$ なので、

$\lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t}}{\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}+1} = \frac{0}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{0}{1+1} = 0$

3. 最終的な答え

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