$\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x}+b}{x-2} = -1$を満たす$a, b$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x}+b}{x-2} = -1$を満たす$a, b$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 2$のとき、分母が$0$に近づくので、極限が存在するためには、分子も$0$に近づく必要があります。したがって、

$a\sqrt{2} + b = 0$

が成り立ちます。これから、$b = -a\sqrt{2}$が得られます。

これを元の式に代入すると、

$\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x} - a\sqrt{2}}{x-2} = -1$

$a$で括ると、

$\lim_{x \to 2} \frac{a(\sqrt{x} - \sqrt{2})}{x-2} = -1$

ここで、$\sqrt{x} - \sqrt{2}$を$(x-2)$で割るために、分母分子に$\sqrt{x} + \sqrt{2}$をかけます。

$\lim_{x \to 2} \frac{a(\sqrt{x} - \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})}{(x-2)(\sqrt{x} + \sqrt{2})} = -1$

$\lim_{x \to 2} \frac{a(x - 2)}{(x-2)(\sqrt{x} + \sqrt{2})} = -1$

$x \neq 2$のとき、$x-2$で約分できるので、

$\lim_{x \to 2} \frac{a}{\sqrt{x} + \sqrt{2}} = -1$

$x \to 2$の極限を取ると、

$\frac{a}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = -1$

$\frac{a}{2\sqrt{2}} = -1$

$a = -2\sqrt{2}$

$b = -a\sqrt{2} = -(-2\sqrt{2})\sqrt{2} = 4$

3. 最終的な答え

$a = -2\sqrt{2}$

$b = 4$