次の不定積分を求めよ。 $\int \frac{x}{\sqrt{4-3x^2}} dx$

## (2) の問題

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

$\int \frac{x}{\sqrt{4-3x^2}} dx$

2. 解き方の手順

$t = 4-3x^2$ と置換すると、$dt = -6x dx$ となる。

したがって、$x dx = -\frac{1}{6} dt$ である。

与えられた積分は、

$$\int \frac{x}{\sqrt{4-3x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} (-\frac{1}{6}) dt = -\frac{1}{6} \int t^{-\frac{1}{2}} dt$$

となる。

$t^{-\frac{1}{2}}$ の積分は、$\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2t^{\frac{1}{2}}$ である。

したがって、

$$-\frac{1}{6} \int t^{-\frac{1}{2}} dt = -\frac{1}{6} \times 2t^{\frac{1}{2}} + C = -\frac{1}{3}t^{\frac{1}{2}} + C = -\frac{1}{3}\sqrt{t} + C$$

ここで、$t = 4-3x^2$ を代入すると、

$$-\frac{1}{3}\sqrt{4-3x^2} + C$$

となる。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{3}\sqrt{4-3x^2} + C$