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与えられた5つの逆三角関数の等式が成り立つことを示す問題です。 (1) $\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1} x$ (2) $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x$ (3) $\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1} x$ (4) $\sin^{-1} x = \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ (5) $\tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ ($x>0$)

解析学逆三角関数三角関数微分
2025/5/21

1. 問題の内容

与えられた5つの逆三角関数の等式が成り立つことを示す問題です。
(1) sin⁡−1(−x)=−sin⁡−1x\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1} x
(2) cos⁡−1(−x)=π−cos⁡−1x\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x
(3) tan⁡−1(−x)=−tan⁡−1x\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1} x
(4) sin⁡−1x=tan⁡−1x1−x2\sin^{-1} x = \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
(5) tan⁡−1x+tan⁡−11x=π2\tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} (x>0x>0)

2. 解き方の手順

(1) sin⁡−1(−x)=−sin⁡−1x\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1} x
y=sin⁡−1xy = \sin^{-1} x とおくと、sin⁡y=x\sin y = x。
このとき、sin⁡(−y)=−sin⁡y=−x\sin (-y) = -\sin y = -x。
したがって、sin⁡−1(−x)=−y=−sin⁡−1x\sin^{-1}(-x) = -y = -\sin^{-1} x。
(2) cos⁡−1(−x)=π−cos⁡−1x\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x
y=cos⁡−1xy = \cos^{-1} x とおくと、cos⁡y=x\cos y = x。
このとき、cos⁡(π−y)=−cos⁡y=−x\cos (\pi - y) = -\cos y = -x。
したがって、cos⁡−1(−x)=π−y=π−cos⁡−1x\cos^{-1}(-x) = \pi - y = \pi - \cos^{-1} x。
(3) tan⁡−1(−x)=−tan⁡−1x\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1} x
y=tan⁡−1xy = \tan^{-1} x とおくと、tan⁡y=x\tan y = x。
このとき、tan⁡(−y)=−tan⁡y=−x\tan (-y) = -\tan y = -x。
したがって、tan⁡−1(−x)=−y=−tan⁡−1x\tan^{-1}(-x) = -y = -\tan^{-1} x。
(4) sin⁡−1x=tan⁡−1x1−x2\sin^{-1} x = \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
y=sin⁡−1xy = \sin^{-1} x とおくと、sin⁡y=x\sin y = x。このとき、−π2≤y≤π2-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}。
cos⁡y=1−sin⁡2y=1−x2\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}。
したがって、tan⁡y=sin⁡ycos⁡y=x1−x2\tan y = \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}。
よって、y=tan⁡−1x1−x2y = \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}。
したがって、sin⁡−1x=tan⁡−1x1−x2\sin^{-1} x = \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}。
(5) tan⁡−1x+tan⁡−11x=π2\tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} (x>0x>0)
f(x)=tan⁡−1x+tan⁡−11xf(x) = \tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x} とおく。
f′(x)=11+x2+11+(1x)2⋅(−1x2)=11+x2−1x2+1=0f'(x) = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+(\frac{1}{x})^2} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2+1} = 0。
したがって、f(x)f(x) は定数関数。
x=1x=1 のとき、f(1)=tan⁡−11+tan⁡−11=π4+π4=π2f(1) = \tan^{-1} 1 + \tan^{-1} 1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}。
したがって、tan⁡−1x+tan⁡−11x=π2\tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}。

3. 最終的な答え

(1) sin⁡−1(−x)=−sin⁡−1x\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1} x
(2) cos⁡−1(−x)=π−cos⁡−1x\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x
(3) tan⁡−1(−x)=−tan⁡−1x\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1} x
(4) sin⁡−1x=tan⁡−1x1−x2\sin^{-1} x = \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
(5) tan⁡−1x+tan⁡−11x=π2\tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} (x>0x>0)

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