$n \geq 1$ のとき、以下の関数 $f(x)$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求めます。 2) $f(x) = e^{-2x} (2\cos^2(x + \frac{\pi}{36}) - 1)$ 3) $f(x) = x^2 \cdot 4^x$ 4) $f(x) = 8\sin^2 x(1 - \sin^2 x)$ 5) $f(x) = \frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}$

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、それぞれの問題についてn階導関数を求める手順と答えを説明します。

1. 問題の内容

$n \geq 1$ のとき、以下の関数 $f(x)$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求めます。

2) $f(x) = e^{-2x} (2\cos^2(x + \frac{\pi}{36}) - 1)$

3) $f(x) = x^2 \cdot 4^x$

4) $f(x) = 8\sin^2 x(1 - \sin^2 x)$

5) $f(x) = \frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}$

2. 解き方の手順

2) $f(x) = e^{-2x} (2\cos^2(x + \frac{\pi}{36}) - 1)$

まず、2倍角の公式を使って $f(x)$ を整理します。

$2\cos^2\theta - 1 = \cos(2\theta)$ なので、

$f(x) = e^{-2x} \cos(2x + \frac{\pi}{18})$

次に、導関数をいくつか計算して規則性を見つけます。

$f'(x) = -2e^{-2x}\cos(2x + \frac{\pi}{18}) - 2e^{-2x}\sin(2x + \frac{\pi}{18}) = -2e^{-2x}(\cos(2x + \frac{\pi}{18}) + \sin(2x + \frac{\pi}{18}))$

$f(x)=e^{-2x}\cos(2x+\frac{\pi}{18})$

のn階導関数は、

$f^{(n)}(x) = 2^{n}e^{-2x} \cos(2x+\frac{\pi}{18}+\frac{n\pi}{2})$

3) $f(x) = x^2 \cdot 4^x$

$4^x = e^{x\ln 4}$ なので、$f(x) = x^2 e^{x\ln 4}$

ライプニッツの公式を用います。ライプニッツの公式は、

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$

$u=x^2, v = 4^x=e^{x\ln 4}$ とおきます。

$u' = 2x, u''=2, u^{(k)} = 0 (k\geq 3)$

$v^{(n)} = (\ln 4)^n 4^x$

$f^{(n)}(x) = \binom{n}{0}x^2(\ln 4)^n 4^x + \binom{n}{1}2x (\ln 4)^{n-1} 4^x + \binom{n}{2}2 (\ln 4)^{n-2} 4^x$

$= 4^x [ x^2(\ln 4)^n + 2n x (\ln 4)^{n-1} + n(n-1) (\ln 4)^{n-2} ]$

4) $f(x) = 8\sin^2 x(1 - \sin^2 x)$

$f(x) = 8\sin^2 x \cos^2 x = 2(4\sin^2 x \cos^2 x) = 2(2\sin x \cos x)^2 = 2\sin^2(2x)$

$f(x) = 2 \cdot \frac{1 - \cos(4x)}{2} = 1 - \cos(4x)$

$f^{(n)}(x) = -(-1)^{n} 4^{n} \cos(4x + \frac{n \pi}{2})$

$= 4^n \cos(4x + \frac{(n+1) \pi}{2})$

5) $f(x) = \frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}$

部分分数分解を行います。

$\frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3} + \frac{D}{x+4}$

$12 = A(x+2)(x+3)(x+4) + B(x+1)(x+3)(x+4) + C(x+1)(x+2)(x+4) + D(x+1)(x+2)(x+3)$

$x = -1$ のとき $12 = A(1)(2)(3) = 6A \implies A = 2$

$x = -2$ のとき $12 = B(-1)(1)(2) = -2B \implies B = -6$

$x = -3$ のとき $12 = C(-2)(-1)(1) = 2C \implies C = 6$

$x = -4$ のとき $12 = D(-3)(-2)(-1) = -6D \implies D = -2$

$f(x) = \frac{2}{x+1} - \frac{6}{x+2} + \frac{6}{x+3} - \frac{2}{x+4}$

$(\frac{1}{x+a})^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x+a)^{n+1}}$

$f^{(n)}(x) = 2\frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}} - 6\frac{(-1)^n n!}{(x+2)^{n+1}} + 6\frac{(-1)^n n!}{(x+3)^{n+1}} - 2\frac{(-1)^n n!}{(x+4)^{n+1}}$

$= (-1)^n n! \left[ \frac{2}{(x+1)^{n+1}} - \frac{6}{(x+2)^{n+1}} + \frac{6}{(x+3)^{n+1}} - \frac{2}{(x+4)^{n+1}} \right]$

3. 最終的な答え

2) $f^{(n)}(x) = 2^{n}e^{-2x} \cos(2x+\frac{\pi}{18}+\frac{n\pi}{2})$

3) $f^{(n)}(x) = 4^x [ x^2(\ln 4)^n + 2n x (\ln 4)^{n-1} + n(n-1) (\ln 4)^{n-2} ]$

4) $f^{(n)}(x) = 4^n \cos(4x + \frac{(n+1) \pi}{2})$

5) $f^{(n)}(x) = (-1)^n n! \left[ \frac{2}{(x+1)^{n+1}} - \frac{6}{(x+2)^{n+1}} + \frac{6}{(x+3)^{n+1}} - \frac{2}{(x+4)^{n+1}} \right]$