問題は、与えられた関数 $f(x)$ に対して、$n$階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める問題です。ここでは、問題番号2,3,4,5について解答します。

1. 問題の内容

問題は、与えられた関数 $f(x)$ に対して、$n$階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める問題です。ここでは、問題番号2,3,4,5について解答します。

2. 解き方の手順

(2) $f(x) = e^{-2x} (2\cos^2(x + \frac{\pi}{36}) - 1)$

まず、$2\cos^2\theta - 1 = \cos(2\theta)$ の公式を利用して、$f(x)$ を簡略化します。

$f(x) = e^{-2x} \cos(2x + \frac{\pi}{18})$

$f^{(n)}(x)$ を求めるには、ライプニッツの公式を使うのが一般的ですが、ここでは直接微分を繰り返して規則性を見つけます。

$f'(x) = -2e^{-2x}\cos(2x+\frac{\pi}{18}) - 2e^{-2x}\sin(2x+\frac{\pi}{18}) = 2\sqrt{2}e^{-2x}\cos(2x+\frac{\pi}{18}+\frac{5\pi}{4})$

一般に、$f^{(n)}(x) = (2\sqrt{2})^n e^{-2x} \cos(2x + \frac{\pi}{18} + \frac{n\pi}{4})$ となります。これは、$f'(x)$が複素関数にすることで求めやすくなります。 $f(x) = e^{-2x} \cos(2x + \frac{\pi}{18}) = Re(e^{-2x+i(2x+\frac{\pi}{18})})$.

$f^{(n)}(x) = Re(\frac{d^n}{dx^n}e^{-2x+i(2x+\frac{\pi}{18})}) = Re( (-2+2i)^n e^{-2x+i(2x+\frac{\pi}{18})})$.

$-2+2i = 2\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$なので

$f^{(n)}(x) = Re( (2\sqrt{2})^ne^{i\frac{3n\pi}{4}} e^{-2x+i(2x+\frac{\pi}{18})} ) = (2\sqrt{2})^ne^{-2x}Re(e^{i(2x+\frac{\pi}{18}+\frac{3n\pi}{4})} ) = (2\sqrt{2})^ne^{-2x}\cos(2x+\frac{\pi}{18}+\frac{3n\pi}{4})$

(3) $f(x) = x^2 \cdot 4^x$

$f'(x) = 2x\cdot4^x + x^2\cdot4^x\ln4$

$f''(x) = 2\cdot4^x + 4x\cdot4^x\ln4 + 2x\cdot4^x\ln4 + x^2\cdot4^x(\ln4)^2 = 2\cdot4^x + 8x\cdot4^x\ln4 + x^2\cdot4^x(\ln4)^2$

一般に、$f^{(n)}(x) = 4^x (x^2(\ln4)^n + 2nx(\ln4)^{n-1} + n(n-1)(\ln4)^{n-2})$となります。

これは、$f(x) = x^2 e^{x\ln4}$なので、$e^{ax}$のn階微分が$a^ne^{ax}$であることを利用すると求められます。

(4) $f(x) = 8\sin^2 x (1 - \sin^2 x)$

$f(x) = 8\sin^2x \cos^2 x = 2 (2\sin x \cos x)^2 = 2 \sin^2(2x) = 1-\cos(4x)$.

$f'(x) = 4\sin(4x)$

$f''(x) = 16\cos(4x)$

$f'''(x) = -64\sin(4x)$

$f^{(4)}(x) = -256\cos(4x)$

一般に、$f^{(n)}(x) = (-1)^{\frac{n+1}{2}}4^n \sin(4x)$ ($n$が奇数の時)、または $f^{(n)}(x) = (-1)^{\frac{n}{2}} 4^n \cos(4x)$ ($n$が偶数の時) となります。まとめて$f^{(n)}(x) = 4^n cos(4x + \frac{n\pi}{2})$

(5) $f(x) = \frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}$

部分分数分解を行う:

$f(x) = \frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3} + \frac{D}{x+4}$

$12 = A(x+2)(x+3)(x+4) + B(x+1)(x+3)(x+4) + C(x+1)(x+2)(x+4) + D(x+1)(x+2)(x+3)$

$x = -1$ のとき $12 = A(1)(2)(3) = 6A$, よって $A = 2$.

$x = -2$ のとき $12 = B(-1)(1)(2) = -2B$, よって $B = -6$.

$x = -3$ のとき $12 = C(-2)(-1)(1) = 2C$, よって $C = 6$.

$x = -4$ のとき $12 = D(-3)(-2)(-1) = -6D$, よって $D = -2$.

$f(x) = \frac{2}{x+1} - \frac{6}{x+2} + \frac{6}{x+3} - \frac{2}{x+4}$

$(\frac{1}{x+a})^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x+a)^{n+1}}$ を利用すると、

$f^{(n)}(x) = \frac{2(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}} - \frac{6(-1)^n n!}{(x+2)^{n+1}} + \frac{6(-1)^n n!}{(x+3)^{n+1}} - \frac{2(-1)^n n!}{(x+4)^{n+1}}$

$f^{(n)}(x) = (-1)^n n! \left[ \frac{2}{(x+1)^{n+1}} - \frac{6}{(x+2)^{n+1}} + \frac{6}{(x+3)^{n+1}} - \frac{2}{(x+4)^{n+1}} \right]$

3. 最終的な答え

(2) $f^{(n)}(x) = (2\sqrt{2})^ne^{-2x}\cos(2x+\frac{\pi}{18}+\frac{3n\pi}{4})$

(3) $f^{(n)}(x) = 4^x (x^2(\ln4)^n + 2nx(\ln4)^{n-1} + n(n-1)(\ln4)^{n-2})$

(4) $f^{(n)}(x) = 4^n \cos(4x + \frac{n\pi}{2})$

(5) $f^{(n)}(x) = (-1)^n n! \left[ \frac{2}{(x+1)^{n+1}} - \frac{6}{(x+2)^{n+1}} + \frac{6}{(x+3)^{n+1}} - \frac{2}{(x+4)^{n+1}} \right]$