与えられた関数 $y = \tan(\sqrt{x}-1)$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \tan(\sqrt{x}-1)$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法を使います。外側の関数を $u = \sqrt{x} - 1$ とおくと、$y = \tan(u)$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

まず、$y = \tan(u)$ を $u$ で微分します。

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} \tan(u) = \sec^2(u)$

次に、$u = \sqrt{x} - 1$ を $x$ で微分します。

$u = x^{\frac{1}{2}} - 1$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x^{\frac{1}{2}} - 1) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \sec^2(u) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \sec^2(\sqrt{x}-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sec^2(\sqrt{x}-1)}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{\sec^2(\sqrt{x}-1)}{2\sqrt{x}}$