$\log(\arcsin x)$ を微分せよ。

1. 問題の内容

$\log(\arcsin x)$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を利用します。

まず、$u = \arcsin x$ とおくと、$y = \log u$ となります。

したがって、$y$ を $x$ で微分するには、$\frac{dy}{du}$ と $\frac{du}{dx}$ を求め、それらを掛け合わせます。

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\log u) = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1}{\arcsin x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\arcsin x \sqrt{1 - x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{\arcsin x \sqrt{1 - x^2}}$