$y' = \frac{dy}{dx} = 2x - 3$

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1. 問題の内容

与えられた曲線上の点における接線の方程式を求める問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。

(1) 曲線 $y = x^2 - 3x + 1$ 上の点 $(-3, 19)$ における接線の方程式を求めよ。

(2) 曲線 $y = -2x^2 + 4x + 1$ 上の点 $(2, 1)$ における接線の方程式を求めよ。

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2. 解き方の手順

接線の方程式は、微分を用いて求めることができます。

(1) $y = x^2 - 3x + 1$ の場合

1. 微分して傾きを求める:

$y' = \frac{dy}{dx} = 2x - 3$

2. 点 $(-3, 19)$ における傾きを求める:

$x = -3$ を代入すると、

$y'(-3) = 2(-3) - 3 = -6 - 3 = -9$

3. 接線の方程式を求める:

点 $(-3, 19)$ を通り、傾き $-9$ の直線の方程式は、

$y - 19 = -9(x - (-3))$

$y - 19 = -9(x + 3)$

$y - 19 = -9x - 27$

$y = -9x - 27 + 19$

$y = -9x - 8$

(2) $y = -2x^2 + 4x + 1$ の場合

1. 微分して傾きを求める:

$y' = \frac{dy}{dx} = -4x + 4$

2. 点 $(2, 1)$ における傾きを求める:

$x = 2$ を代入すると、

$y'(2) = -4(2) + 4 = -8 + 4 = -4$

3. 接線の方程式を求める:

点 $(2, 1)$ を通り、傾き $-4$ の直線の方程式は、

$y - 1 = -4(x - 2)$

$y - 1 = -4x + 8$

$y = -4x + 8 + 1$

$y = -4x + 9$

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3. 最終的な答え

(1) $y = -9x - 8$

(2) $y = -4x + 9$