(1) 関数 $y = \log_2(-x^2 + 3x - 2)$ の最大値と、そのときの $x$ の値を求める。 (2) 関数 $y = \log_{\frac{1}{2}}(4x - x^2)$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \log_2(-x^2 + 3x - 2)$ の最大値と、そのときの $x$ の値を求める。

(2) 関数 $y = \log_{\frac{1}{2}}(4x - x^2)$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y = \log_2(-x^2 + 3x - 2)$ の最大値を求める。

まず、真数条件より $-x^2 + 3x - 2 > 0$。

$x^2 - 3x + 2 < 0$

$(x-1)(x-2) < 0$

よって、$1 < x < 2$。

次に、 $-x^2 + 3x - 2$ を平方完成する。

$-x^2 + 3x - 2 = -(x^2 - 3x) - 2 = -\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} - 2 = -\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{1}{4}$

$1 < x < 2$ の範囲において、$x = \frac{3}{2}$ のとき、$-x^2 + 3x - 2$ は最大値 $\frac{1}{4}$ をとる。

$y = \log_2(-x^2 + 3x - 2)$ は、$-x^2 + 3x - 2$ が最大のとき最大となる。

したがって、$x = \frac{3}{2}$ のとき、$y = \log_2\left(\frac{1}{4}\right) = \log_2(2^{-2}) = -2$。

(2) 関数 $y = \log_{\frac{1}{2}}(4x - x^2)$ の最小値を求める。

まず、真数条件より $4x - x^2 > 0$。

$x(4 - x) > 0$

$x(x - 4) < 0$

よって、$0 < x < 4$。

次に、$4x - x^2$ を平方完成する。

$4x - x^2 = -(x^2 - 4x) = -(x - 2)^2 + 4$

$0 < x < 4$ の範囲において、$x = 2$ のとき、$4x - x^2$ は最大値 $4$ をとる。

$y = \log_{\frac{1}{2}}(4x - x^2)$ は、底が $\frac{1}{2}$ なので、$4x - x^2$ が最大のとき最小となる。

したがって、$x = 2$ のとき、$y = \log_{\frac{1}{2}}(4) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\right) = -2$。

3. 最終的な答え

(1) 最大値：-2 ($x = \frac{3}{2}$ のとき)

(2) 最小値：-2 ($x = 2$ のとき)