次の極限値を求めます。 (1) $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} (\frac{1}{4+h} - \frac{1}{4})$ (2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x} - x)$

1. 問題の内容

次の極限値を求めます。

(1) $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} (\frac{1}{4+h} - \frac{1}{4})$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x} - x)$

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} (\frac{1}{4+h} - \frac{1}{4})$を計算します。

まず、括弧の中を計算します。

$\frac{1}{4+h} - \frac{1}{4} = \frac{4 - (4+h)}{4(4+h)} = \frac{-h}{4(4+h)}$

次に、$\frac{1}{h}$を掛けます。

$\frac{1}{h} \cdot \frac{-h}{4(4+h)} = \frac{-1}{4(4+h)}$

最後に、$h \to 0$の極限を計算します。

$\lim_{h \to 0} \frac{-1}{4(4+h)} = \frac{-1}{4(4+0)} = \frac{-1}{16}$

(2)

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x} - x)$を計算します。

まず、$\sqrt{x^2 + x} - x$を有理化します。

$\sqrt{x^2 + x} - x = (\sqrt{x^2 + x} - x) \cdot \frac{\sqrt{x^2 + x} + x}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{(x^2 + x) - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x}$

次に、分母と分子を$x$で割ります。

$\frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}$

最後に、$x \to \infty$の極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{16}$

(2) $\frac{1}{2}$