次の極限を求め、収束・発散を調べます。 (1) $\lim_{x \to 1+0} \frac{|x-1|}{x-1}$ (2) $\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2}$ (3) $\lim_{x \to -2-0} \frac{1}{(x+2)^2}$ (4) $\lim_{x \to -1} \frac{1}{|x+1|}$

1. 問題の内容

次の極限を求め、収束・発散を調べます。

(1) $\lim_{x \to 1+0} \frac{|x-1|}{x-1}$

(2) $\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2}$

(3) $\lim_{x \to -2-0} \frac{1}{(x+2)^2}$

(4) $\lim_{x \to -1} \frac{1}{|x+1|}$

2. 解き方の手順

(1) $x \to 1+0$ のとき、$x > 1$ なので、$x-1 > 0$ です。したがって、$|x-1| = x-1$ となります。

$$\lim_{x \to 1+0} \frac{|x-1|}{x-1} = \lim_{x \to 1+0} \frac{x-1}{x-1} = \lim_{x \to 1+0} 1 = 1$$

(2) $x \to 2-0$ のとき、$x < 2$ なので、$x-2 < 0$ です。

$$\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2} = -\infty$$

よって、発散します。

(3) $x \to -2-0$ のとき、$x < -2$ なので、$x+2 < 0$ です。しかし、$(x+2)^2 > 0$ です。

$$\lim_{x \to -2-0} \frac{1}{(x+2)^2} = +\infty$$

よって、発散します。

(4) $x \to -1$ のとき、

$x \to -1+0$ のとき、$x > -1$ なので、$x+1 > 0$ です。したがって、$|x+1| = x+1$ となります。

$$\lim_{x \to -1+0} \frac{1}{|x+1|} = \lim_{x \to -1+0} \frac{1}{x+1} = +\infty$$

$x \to -1-0$ のとき、$x < -1$ なので、$x+1 < 0$ です。したがって、$|x+1| = -(x+1)$ となります。

$$\lim_{x \to -1-0} \frac{1}{|x+1|} = \lim_{x \to -1-0} \frac{1}{-(x+1)} = \lim_{x \to -1-0} \frac{-1}{x+1} = +\infty$$

左右の極限が一致するので、$\lim_{x \to -1} \frac{1}{|x+1|} = +\infty$ であり、発散します。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 発散

(3) 発散

(4) 発散