曲線 $C: y = 2\sqrt{x}$ 上の点Aのx座標が4である。 (1) 点Aにおける接線lの方程式を求める。 (2) 点Aにおける法線mの方程式を求める。 (3) Cとl、およびy軸で囲まれた部分の面積$S_1$を求める。 (4) Cとm、およびx軸で囲まれた部分の面積$S_2$を求める。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = 2\sqrt{x}$ 上の点Aのx座標が4である。

(1) 点Aにおける接線lの方程式を求める。

(2) 点Aにおける法線mの方程式を求める。

(3) Cとl、およびy軸で囲まれた部分の面積$S_1$を求める。

(4) Cとm、およびx軸で囲まれた部分の面積$S_2$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 接線lの方程式

点Aの座標は$(4, 2\sqrt{4}) = (4, 4)$。

$y = 2\sqrt{x}$ を微分すると、$y' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$。

x=4における微分係数は $y'(4) = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$。

したがって、接線lの方程式は、

$y - 4 = \frac{1}{2}(x - 4)$

$y = \frac{1}{2}x - 2 + 4$

$y = \frac{1}{2}x + 2$

(2) 法線mの方程式

法線mの傾きは接線lの傾きの逆数に-1をかけたものなので、$-2$。

したがって、法線mの方程式は、

$y - 4 = -2(x - 4)$

$y = -2x + 8 + 4$

$y = -2x + 12$

(3) 面積 $S_1$

$C: y = 2\sqrt{x}$ と $l: y = \frac{1}{2}x + 2$ の交点は $(4, 4)$。

$y$軸との交点はそれぞれ $C: (0, 0)$ と $l: (0, 2)$。

面積 $S_1$ は、$\int_0^4 (\frac{1}{2}x + 2 - 2\sqrt{x}) dx$ で求められる。

$S_1 = [\frac{1}{4}x^2 + 2x - \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}]_0^4 = \frac{1}{4}(16) + 2(4) - \frac{4}{3}(4^{\frac{3}{2}}) - 0$

$S_1 = 4 + 8 - \frac{4}{3}(8) = 12 - \frac{32}{3} = \frac{36 - 32}{3} = \frac{4}{3}$

(4) 面積 $S_2$

$C: y = 2\sqrt{x}$ と $m: y = -2x + 12$ の交点は $(4, 4)$。

x軸との交点はそれぞれ $C: (0, 0)$ と $m: (6, 0)$。

面積 $S_2$ は、$\int_0^4 2\sqrt{x} dx + \int_4^6 (-2x+12) dx = \int_0^4 (2\sqrt{x}) dx - \int_0^4 (-2x+12) dx$。

または、$\int_0^4 (2\sqrt{x} - (-2x + 12))dx = \int_0^4 (2\sqrt{x} + 2x - 12) dx$

$S_2 = \int_0^4(2\sqrt{x}) dx - \int_4^6 (-2x + 12) dx = [\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}]_0^4 + [-x^2 + 12x]_4^6$

$S_2 = \frac{4}{3}(8) - 0 + (-36 + 72) - (-16 + 48) = \frac{32}{3} + 36 - 32 = \frac{32}{3} + 4 = \frac{32 + 12}{3} = \frac{44}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{2}x + 2$

(2) $y = -2x + 12$

(3) $S_1 = \frac{4}{3}$

(4) $S_2 = \frac{44}{3}$

したがって、埋めるべき数字は以下の通り。

1: 1

2: 2

3: 2

4: 2

5: 1

6: 2

7: 4

8: 3

9: 4

10: 4

11: 3