与えられた極限を計算します。具体的には、 $\lim_{x\to\infty} \frac{\log(\arcsin(\frac{1}{x}))}{\log x}$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。具体的には、

$\lim_{x\to\infty} \frac{\log(\arcsin(\frac{1}{x}))}{\log x}$

を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\arcsin(\frac{1}{x})$ の $x\to\infty$ における振る舞いを調べます。

$x\to\infty$ のとき、$\frac{1}{x}\to 0$ であるので、$\arcsin(\frac{1}{x})\to 0$ となります。したがって、$\log(\arcsin(\frac{1}{x}))\to -\infty$ であり、$\log x\to \infty$ であるから、不定形 $\frac{-\infty}{\infty}$ の形となります。そこで、L'Hopital の定理を適用します。

まず、分子を微分します。

$\frac{d}{dx} \log(\arcsin(\frac{1}{x})) = \frac{1}{\arcsin(\frac{1}{x})} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{1}{x})^2}} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{-1}{x^2\arcsin(\frac{1}{x})\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} = \frac{-1}{x\arcsin(\frac{1}{x})\sqrt{x^2 - 1}}$

次に、分母を微分します。

$\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$

したがって、

$\lim_{x\to\infty} \frac{\frac{d}{dx} \log(\arcsin(\frac{1}{x}))}{\frac{d}{dx} \log x} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{-1}{x\arcsin(\frac{1}{x})\sqrt{x^2 - 1}}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{-1}{\arcsin(\frac{1}{x})\sqrt{x^2 - 1}}$

$x\to\infty$ のとき、$\arcsin(\frac{1}{x}) \sim \frac{1}{x}$ であり、$\sqrt{x^2 - 1} \sim x$ であるので、

$\lim_{x\to\infty} \frac{-1}{\arcsin(\frac{1}{x})\sqrt{x^2 - 1}} = \lim_{x\to\infty} \frac{-1}{\frac{1}{x}\cdot x} = \lim_{x\to\infty} \frac{-1}{1} = -1$

3. 最終的な答え

-1