曲線 $C: y = 2\sqrt{x}$ 上の点Aのx座標が4である。以下の問いに答える。 (1) Cの点Aにおける接線lの方程式を求める。 (2) Cの点Aにおける法線mの方程式を求める。 (3) C, l, およびy軸で囲まれた部分の面積 $S_1$ を求める。 (4) C, m, およびx軸で囲まれた部分の面積 $S_2$ を求める。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = 2\sqrt{x}$ 上の点Aのx座標が4である。以下の問いに答える。

(1) Cの点Aにおける接線lの方程式を求める。

(2) Cの点Aにおける法線mの方程式を求める。

(3) C, l, およびy軸で囲まれた部分の面積 $S_1$ を求める。

(4) C, m, およびx軸で囲まれた部分の面積 $S_2$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの座標は $x=4$ より $y = 2\sqrt{4} = 4$ なので、A(4, 4) である。

$y = 2\sqrt{x}$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

点A(4, 4) における接線の傾きは、

$\frac{dy}{dx}|_{x=4} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$

よって、接線lの方程式は、

$y - 4 = \frac{1}{2}(x - 4)$

$y = \frac{1}{2}x - 2 + 4$

$y = \frac{1}{2}x + 2$

(2) 点A(4, 4) における法線mの傾きは、接線の傾き $\frac{1}{2}$ と直交するので、 $-2$ である。

よって、法線mの方程式は、

$y - 4 = -2(x - 4)$

$y = -2x + 8 + 4$

$y = -2x + 12$

(3) Cとl、およびy軸で囲まれた部分の面積 $S_1$ は、積分を用いて計算する。

$S_1 = \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - (\frac{1}{2}x + 2)) dx$

$S_1 = \int_{0}^{4} (2x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}x - 2) dx$

$S_1 = [2 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{4}x^2 - 2x]_{0}^{4}$

$S_1 = [\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{4}x^2 - 2x]_{0}^{4}$

$S_1 = \frac{4}{3}(4)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{4}(4)^2 - 2(4) - 0$

$S_1 = \frac{4}{3}(8) - \frac{1}{4}(16) - 8$

$S_1 = \frac{32}{3} - 4 - 8$

$S_1 = \frac{32}{3} - 12 = \frac{32 - 36}{3} = -\frac{4}{3}$

面積なので符号を反転して $S_1 = \frac{4}{3}$

(4) Cとm、およびx軸で囲まれた部分の面積 $S_2$ は、積分を用いて計算する。

法線mとx軸の交点を求める。

$y = -2x + 12 = 0$

$2x = 12$

$x = 6$

$S_2 = \int_{0}^{4} (2\sqrt{x}) dx + \int_{4}^{6} (2\sqrt{x}) dx - \int_{0}^{6}(-2x+12)dx$

$S_2 = \int_{0}^{6} (2\sqrt{x}) dx - \int_{4}^{6} (-2x +12)dx$

$S_2 = [\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{6} - \int_{4}^{6} (-2x +12)dx$

$S_2 = \frac{4}{3}(6)^{\frac{3}{2}} - [-x^2 + 12x]_{4}^{6}$

$S_2 = \frac{4}{3}(6\sqrt{6}) - [(-36+72) - (-16+48)]$

$S_2 = 8\sqrt{6} - [36 - 32]$

$S_2 = 8\sqrt{6} - 4$

Cとm、およびx軸で囲まれた部分の面積 $S_2$ は、積分を用いて計算する。

$S_2 = \int_{0}^{6} |2\sqrt{x} - 0 |dx- \int_{4}^{6} |-2x+12-0| dx$

$S_2 = \int_{0}^{6} 2\sqrt{x} dx- \int_{4}^{6} (-2x+12) dx$

$S_2 = [\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}}]|_{0}^{6} - [-x^{2}+12x]|_{4}^{6}$

$S_2 = [\frac{4}{3} (6)^{\frac{3}{2}}-0]- [(-36+72)-(-16+48)]$

$S_2 = [\frac{4}{3} 6 \sqrt{6}] - [36-32]$

$S_2 = 8\sqrt{6} -4$

問題に当てはめると

(1) $y=\frac{1}{2}x+2$

(2) $y=-2x+12$

(3) $S_1=\frac{4}{3}$

(4) 答えがわからない

3. 最終的な答え

(1) 1: 1/2, 3: 2

(2) 4: 2, 5: 1, 6: 2

(3) 7: 4, 8: 3

(4) 9: 8, 10: $\sqrt{6}$, 11: 4

$S_2 = 8\sqrt{6} -4$