次の極限を求めます。 $\lim_{n\to\infty} (1 - \frac{1}{n+1})^{n+1}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{n\to\infty} (1 - \frac{1}{n+1})^{n+1}$

2. 解き方の手順

自然対数の底の定義を思い出します。

$\lim_{x\to\infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$

与えられた極限を$x = -(n+1)$と置換します。このとき、$n \to \infty$ならば$x \to -\infty$となります。すると、

$\lim_{n\to\infty} (1 - \frac{1}{n+1})^{n+1} = \lim_{x\to -\infty} (1 + \frac{1}{x})^{-x}$

となります。

ここで、$y = -x$と置換すると、$x \to -\infty$ならば$y \to \infty$となり、

$\lim_{x\to -\infty} (1 + \frac{1}{x})^{-x} = \lim_{y\to \infty} (1 - \frac{1}{y})^{y} = \lim_{y\to \infty} (\frac{y-1}{y})^{y}$

となります。

$\lim_{y\to \infty} (1 - \frac{1}{y})^{y} = \lim_{y\to \infty} (1 + \frac{-1}{y})^{y}$

ここで、$z = -y$とおくと、$y \to \infty$ならば$z \to -\infty$となります。

$\lim_{y\to \infty} (1 + \frac{-1}{y})^{y} = \lim_{z\to -\infty} (1 + \frac{1}{z})^{z} = e$

または、

$\lim_{y\to \infty} (1 - \frac{1}{y})^{y} = \lim_{y\to \infty} e^{\ln((1 - \frac{1}{y})^{y})} = \lim_{y\to \infty} e^{y\ln(1 - \frac{1}{y})}$

$\lim_{y\to \infty} y\ln(1 - \frac{1}{y}) = \lim_{y\to \infty} \frac{\ln(1 - \frac{1}{y})}{1/y}$

ここで、ロピタルの定理を使うと

$\lim_{y\to \infty} \frac{\frac{1}{1 - \frac{1}{y}} \cdot \frac{1}{y^2}}{-1/y^2} = \lim_{y\to \infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{y}} \cdot (-1) = -1$

よって、

$\lim_{y\to \infty} (1 - \frac{1}{y})^{y} = e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$