与えられた極限を計算する問題です。 $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}^{\frac{1}{x^2}}$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}^{\frac{1}{x^2}}$$

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{\sin(2x)}{x}^{\frac{1}{x^2}}$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$$\ln y = \ln\left(\frac{\sin(2x)}{x}^{\frac{1}{x^2}}\right) = \frac{1}{x^2} \ln\left(\frac{\sin(2x)}{x}\right)$$

ここで、$x \to 0$ のときの $\ln y$ の極限を求めます。

$\sin(2x)$ をテイラー展開すると、$\sin(2x) = 2x - \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^5}{5!} - \dots$ となります。

よって、$\frac{\sin(2x)}{x} = \frac{2x - \frac{8x^3}{6} + \frac{32x^5}{120} - \dots}{x} = 2 - \frac{4x^2}{3} + \frac{4x^4}{15} - \dots$

$\ln(1+x)$ のテイラー展開は $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ なので、

$$\ln\left(\frac{\sin(2x)}{x}\right) = \ln\left(2 - \frac{4x^2}{3} + \frac{4x^4}{15} - \dots\right) = \ln\left[2\left(1 - \frac{2x^2}{3} + \frac{2x^4}{15} - \dots\right)\right]$$

$$= \ln 2 + \ln\left(1 - \frac{2x^2}{3} + \frac{2x^4}{15} - \dots\right)$$

$$\approx \ln 2 + \left(-\frac{2x^2}{3} + \frac{2x^4}{15} - \dots\right) - \frac{1}{2}\left(-\frac{2x^2}{3} + \frac{2x^4}{15} - \dots\right)^2 + \dots$$

$$\approx \ln 2 - \frac{2x^2}{3} + O(x^4)$$

したがって、

$$\ln y = \frac{1}{x^2} \ln\left(\frac{\sin(2x)}{x}\right) = \frac{\ln 2}{x^2} - \frac{2}{3} + O(x^2)$$

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln(\frac{\sin(2x)}{x}) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}(\ln(2)-\frac{2x^2}{3})$

ロピタルの定理を使う。

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\sin(2x)/x)}{x^2}$

= $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sin(2x)} \cdot \frac{2x\cos(2x) - \sin(2x)}{x^2}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x\cos(2x) - \sin(2x)}{2x^2\sin(2x)}$

$\sin(2x) = 2x - \frac{(2x)^3}{3!} + ...$

$\cos(2x) = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + ...$

$\lim_{x \to 0} \frac{2x(1 - \frac{4x^2}{2} ) - (2x - \frac{8x^3}{6})}{2x^2(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x - 4x^3 - 2x + \frac{4}{3}x^3}{4x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{8}{3}x^3}{4x^3} = -\frac{2}{3}$

$\lim_{x \to 0} \ln y = -\frac{2}{3}$

$$\lim_{x \to 0} y = e^{-\frac{2}{3}}$$

3. 最終的な答え

$$e^{-\frac{2}{3}}$$