$\sin \frac{7}{12} \pi$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin \frac{7}{12} \pi$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\frac{7}{12} \pi$ は $\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$ と表すことができる。つまり、

$\frac{7}{12} \pi = \frac{4}{12} \pi + \frac{3}{12} \pi = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$

したがって、

$\sin \frac{7}{12} \pi = \sin (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4})$

三角関数の加法定理を使うと、

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

ここで、$\alpha = \frac{\pi}{3}$、$\beta = \frac{\pi}{4}$ とすると、

$\sin (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4}$

$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

これらの値を代入すると、

$\sin (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$