確率変数 $X$ の期待値 $E[X]$ は 2、分散 $V[X]$ は 1 である。定数 $a, b$ ($a>0$) を用いて、確率変数 $Y$ を $Y = aX + b$ と定める。このとき、$Y$ の期待値 $E[Y]$ が 0 で、$Y^2$ の期待値 $E[Y^2]$ が 10 となるように、$a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の期待値 $E[X]$ は 2、分散 $V[X]$ は 1 である。定数 $a, b$ ($a>0$) を用いて、確率変数 $Y$ を $Y = aX + b$ と定める。このとき、$Y$ の期待値 $E[Y]$ が 0 で、$Y^2$ の期待値 $E[Y^2]$ が 10 となるように、$a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$Y$ の期待値と分散を $X$ の期待値と分散で表します。

$Y = aX + b$ なので、期待値は

$E[Y] = E[aX + b] = aE[X] + b$

分散は

$V[Y] = V[aX + b] = a^2V[X]$

問題文より、$E[X] = 2$、$V[X] = 1$、$E[Y] = 0$、$E[Y^2] = 10$ であるから、

$E[Y] = 2a + b = 0$

$V[Y] = a^2 = E[Y^2] - (E[Y])^2$

$E[Y] = 0$ なので、$V[Y] = E[Y^2] = 10$

したがって、$a^2 = 10$

$a > 0$ より、$a = \sqrt{10}$

$2a + b = 0$ なので、$b = -2a = -2\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{10}$, $b = -2\sqrt{10}$