袋の中に数字1が書かれたカードが6枚、数字2が書かれたカードが3枚入っている。これらのカードを元に戻さずに1枚ずつ2回取り出す。1枚目のカードの数字を$X$、2枚目のカードの数字を$Y$とする。$X$と$Y$の同時分布を求め、さらに$X$と$Y$が独立でないことを示す。

1. 問題の内容

袋の中に数字1が書かれたカードが6枚、数字2が書かれたカードが3枚入っている。これらのカードを元に戻さずに1枚ずつ2回取り出す。1枚目のカードの数字を$X$、2枚目のカードの数字を$Y$とする。$X$と$Y$の同時分布を求め、さらに$X$と$Y$が独立でないことを示す。

2. 解き方の手順

$X$と$Y$が取りうる値はそれぞれ1または2である。したがって、$X$と$Y$の同時分布は、$P(X=x, Y=y)$ (ただし、$x, y \in \{1, 2\}$) を計算することで求められる。

まず、全事象の数（2枚のカードの取り出し方の総数）を考える。全部で9枚のカードから2枚を取り出すので、その総数は$9 \times 8 = 72$通りである。

次に、各確率を計算する。

* $P(X=1, Y=1)$: 1枚目に1, 2枚目に1を引く確率。1枚目に1を引く確率は$\frac{6}{9}$。1枚目に1を引いたとき、残りのカードは8枚で、そのうち1のカードは5枚。したがって、2枚目に1を引く確率は$\frac{5}{8}$。ゆえに、

$P(X=1, Y=1) = \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} = \frac{30}{72} = \frac{5}{12}$

* $P(X=1, Y=2)$: 1枚目に1, 2枚目に2を引く確率。1枚目に1を引く確率は$\frac{6}{9}$。1枚目に1を引いたとき、残りのカードは8枚で、そのうち2のカードは3枚。したがって、2枚目に2を引く確率は$\frac{3}{8}$。ゆえに、

$P(X=1, Y=2) = \frac{6}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{18}{72} = \frac{1}{4}$

* $P(X=2, Y=1)$: 1枚目に2, 2枚目に1を引く確率。1枚目に2を引く確率は$\frac{3}{9}$。1枚目に2を引いたとき、残りのカードは8枚で、そのうち1のカードは6枚。したがって、2枚目に1を引く確率は$\frac{6}{8}$。ゆえに、

$P(X=2, Y=1) = \frac{3}{9} \times \frac{6}{8} = \frac{18}{72} = \frac{1}{4}$

* $P(X=2, Y=2)$: 1枚目に2, 2枚目に2を引く確率。1枚目に2を引く確率は$\frac{3}{9}$。1枚目に2を引いたとき、残りのカードは8枚で、そのうち2のカードは2枚。したがって、2枚目に2を引く確率は$\frac{2}{8}$。ゆえに、

$P(X=2, Y=2) = \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}$

次に、$X$と$Y$が独立かどうかを調べる。もし独立であれば、$P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$が成り立つ。

$P(X=1) = P(X=1, Y=1) + P(X=1, Y=2) = \frac{5}{12} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

$P(X=2) = P(X=2, Y=1) + P(X=2, Y=2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$P(Y=1) = P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=1) = \frac{5}{12} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

$P(Y=2) = P(X=1, Y=2) + P(X=2, Y=2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$P(X=1)P(Y=1) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9} = \frac{32}{72}$

$P(X=1, Y=1) = \frac{5}{12} = \frac{30}{72}$

$P(X=1)P(Y=1) \neq P(X=1, Y=1)$ なので、$X$と$Y$は独立ではない。

3. 最終的な答え

同時分布は以下の通り。

$P(X=1, Y=1) = \frac{5}{12}$

$P(X=1, Y=2) = \frac{1}{4}$

$P(X=2, Y=1) = \frac{1}{4}$

$P(X=2, Y=2) = \frac{1}{12}$

$X$と$Y$は独立ではない。