二つのサイコロを投げたとき、小さい方の目の数を $X$ とする。ただし、二つのサイコロの目が等しいときは、その目の数を $X$ とする。 (a) 小さい方の目の数が2である確率 $P(X=2)$ を求める。 (b) 期待値 $E(X)$ を求める。

1. 問題の内容

二つのサイコロを投げたとき、小さい方の目の数を $X$ とする。ただし、二つのサイコロの目が等しいときは、その目の数を $X$ とする。

(a) 小さい方の目の数が2である確率 $P(X=2)$ を求める。

(b) 期待値 $E(X)$ を求める。

2. 解き方の手順

(a) $P(X=2)$ を求める。

二つのサイコロの目の組み合わせは $6 \times 6 = 36$ 通り。

小さい方の目が2であるのは、

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) および (1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2) である。

ただし、(2, 2) は重複しているので、除く必要がある。

したがって、(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2) のうち重複を除く。

(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) の11通りではない。

小さい方の目が2であるのは、

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2) のうち、

(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)と(2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)の組み合わせ。

よって、該当する組み合わせは (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2) の9通り。

したがって、確率は $\frac{9}{36}$

(b) $E(X)$ を求める。

$X$ の取りうる値は 1, 2, 3, 4, 5, 6。

$P(X=1) = \frac{11}{36}$

$P(X=2) = \frac{9}{36}$

$P(X=3) = \frac{7}{36}$

$P(X=4) = \frac{5}{36}$

$P(X=5) = \frac{3}{36}$

$P(X=6) = \frac{1}{36}$

$E(X) = 1 \cdot \frac{11}{36} + 2 \cdot \frac{9}{36} + 3 \cdot \frac{7}{36} + 4 \cdot \frac{5}{36} + 5 \cdot \frac{3}{36} + 6 \cdot \frac{1}{36} = \frac{11 + 18 + 21 + 20 + 15 + 6}{36} = \frac{91}{36}$

3. 最終的な答え

(a) $P(X=2) = \frac{9}{36}$

(b) $E(X) = \frac{91}{36}$