(1) 円を6等分した図形を、赤、青、黄、緑、茶、黒の6色すべてを使って塗り分けるとき、塗り方は何通りあるか。 (2) 正五角形を、中心から各頂点へ線を引き5つの図形に分割したものを、赤、青、黄、緑、茶の5色すべてを使って塗り分けるとき、塗り方は何通りあるか。 ただし、回転して同じになる塗り方は区別しない。

1. 問題の内容

(1) 円を6等分した図形を、赤、青、黄、緑、茶、黒の6色すべてを使って塗り分けるとき、塗り方は何通りあるか。

(2) 正五角形を、中心から各頂点へ線を引き5つの図形に分割したものを、赤、青、黄、緑、茶の5色すべてを使って塗り分けるとき、塗り方は何通りあるか。

ただし、回転して同じになる塗り方は区別しない。

2. 解き方の手順

(1)

まず、円を6等分した図形を塗り分ける場合の数を考えます。

6色から1色を選び、ある区画を塗ります。その区画を固定して考えます。残りの5区画は、残りの5色で塗り分けることになります。

5色の並べ方は $5!$ 通りあります。

したがって、塗り方の総数は $5!$ 通りです。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

(2)

次に、正五角形を5等分した図形を塗り分ける場合の数を考えます。

5色から1色を選び、中心の区画を塗ります。次に、残りの4色で外側の4つの区画を塗り分けます。

4色の並べ方は $4!$ 通りですが、回転して同じになるものを区別しないので、4で割る必要があります。

ただし、回転対称性があるため、円順列の考え方を使います。4色を円状に並べる方法は $(4-1)! = 3!$ 通りです。

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 6通り