同じ大きさの5枚の正方形の板を一列に並べて掲示板を作る。赤、緑、青の3色で隣り合う正方形が異なる色になるように塗り分ける。ただし、3色全てを使わなくても良く、2色だけでも良い。 (1) 塗り方が左右対称になる塗り方の数を求める。 (2) 青色と緑色の2色だけで塗り分ける塗り方の数を求める。 (3) 赤色に塗られる正方形が1枚である場合について考える。 - どちらかの端の1枚が赤色に塗られる塗り方の数を求める。 - 端以外の1枚が赤色に塗られる塗り方の数を求める。 - 赤色に塗られる正方形が1枚である塗り方の数を求める。

1. 問題の内容

同じ大きさの5枚の正方形の板を一列に並べて掲示板を作る。赤、緑、青の3色で隣り合う正方形が異なる色になるように塗り分ける。ただし、3色全てを使わなくても良く、2色だけでも良い。

(1) 塗り方が左右対称になる塗り方の数を求める。

(2) 青色と緑色の2色だけで塗り分ける塗り方の数を求める。

(3) 赤色に塗られる正方形が1枚である場合について考える。

- どちらかの端の1枚が赤色に塗られる塗り方の数を求める。

- 端以外の1枚が赤色に塗られる塗り方の数を求める。

- 赤色に塗られる正方形が1枚である塗り方の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 左右対称となるのは、中央の正方形の色が決まれば、残りの2組の色が決まる。中央の色は3色から選べる。中央の色が決まると、その両隣の色は残り2色から選べる。一番外側の色は、その隣の色以外の2色から選べる。したがって、塗り方の数は $3 \times 2 \times 2 = 12$ 通り。

(2) 青色と緑色の2色だけで塗り分ける場合、隣り合う正方形が異なる色になるように塗る必要がある。1番目の正方形の色は2通りあり、2番目以降の正方形の色は前の正方形と異なる色にする必要があるため、それぞれ1通りに決まる。したがって、塗り方の数は $2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 2$ 通り。

(3) 赤色に塗られる正方形が1枚である場合を考える。

- どちらかの端の1枚が赤色に塗られる場合。

端の1枚が赤色の場合、残りの4枚は青色と緑色で塗られる。隣り合う正方形の色が異なるように塗る必要があるので、残りの4枚の塗り方は1通り。赤色を塗る端は左端と右端の2通りあるので、塗り方の数は $1 + 1 = 2$ 通り。

- 端以外の1枚が赤色に塗られる場合。

赤色の正方形の両隣は、青色または緑色で塗られる。左から2番目が赤色の時、左端は青色または緑色で塗られる。右から2番目が赤色の時、右端は青色または緑色で塗られる。真ん中が赤色の時は、両端を考える必要があるので注意。

左から2番目の正方形が赤色の時、左端は青色または緑色で塗られる。右端から2番目の正方形が赤色の時、右端は青色または緑色で塗られる。左から3番目の正方形が赤色の時、左から1番目と5番目の正方形について考える必要がある。

- 左から2番目の正方形が赤色の場合：1番目は青か緑の2通り、3,4,5番目は順に決まり1通りずつなので$2 \times 1 \times 1 \times 1=2$通り。

- 左から4番目の正方形が赤色の場合：5番目は青か緑の2通り、3,2,1番目は順に決まり1通りずつなので$2 \times 1 \times 1 \times 1=2$通り。

- 左から3番目の正方形が赤色の場合：1,5番目は青か緑のどちらか。1,5番目が同じ色の場合は、隣り合う正方形で色が異なると言う条件に反する。よって、1番目は青か緑の2通り、5番目は1番目と異なる色なので1通り。2,4番目は順に決まり1通りずつ。したがって、$2 \times 1 \times 1 \times 1=2$通り。

以上より、端以外の1枚が赤色に塗られる塗り方は $2 + 2 + 2 = 6$ 通り。

- 赤色に塗られる正方形が1枚である塗り方は、端の1枚が赤色の場合と端以外の1枚が赤色の場合を足し合わせて $2 + 6 = 8$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) アイ：12

(2) ウ：2

(3) エ：2

(3) オカ：6

(3) キク：8