3つの自然数 $a, b, c$ があり、$a$ は3で割り切れ、$b$ は3で割ると1余り、$c$ は3で割ると2余る。このとき、次の選択肢の中から正しいものをすべて選ぶ問題。 ア：$a+b+c$ は3で割り切れる。 イ：$a+2 = c$ である。 ウ：$a+b$ を6で割ると、いつも1余る。 エ：$a < b < c$ である。 オ：$b+2$ と $c+1$ は、どちらも3を約数としてもっている。

1. 問題の内容

3つの自然数 $a, b, c$ があり、$a$ は3で割り切れ、$b$ は3で割ると1余り、$c$ は3で割ると2余る。このとき、次の選択肢の中から正しいものをすべて選ぶ問題。

ア：$a+b+c$ は3で割り切れる。

イ：$a+2 = c$ である。

ウ：$a+b$ を6で割ると、いつも1余る。

エ：$a < b < c$ である。

オ：$b+2$ と $c+1$ は、どちらも3を約数としてもっている。

2. 解き方の手順

$a$, $b$, $c$ の条件を数式で表すと、以下のようになる。

$a = 3k$ (kは整数)

$b = 3l + 1$ (lは整数)

$c = 3m + 2$ (mは整数)

ア：$a+b+c = 3k + (3l+1) + (3m+2) = 3k + 3l + 3m + 3 = 3(k+l+m+1)$

これは3で割り切れるので、正しい。

イ：$a+2 = 3k+2$、$c = 3m+2$

$3k+2 = 3m+2$ より $3k=3m$、$k=m$のときに成り立つ。

例えば、$a=3$, $c=5$のとき $3+2 = 5$ となるが、$a=6$, $c=5$の場合($a$は3で割り切れる必要があるので適切ではない)では成り立たないので、正しくない。

ウ：$a+b = 3k + 3l + 1 = 3(k+l) + 1$

これは3で割ると1余る。

$a+b = 3(k+l) + 1$ なので、$a+b$ を 6 で割った余りは、1 か 4 である。

例えば、$a=3$, $b=1$のとき $a+b=4$なので6で割ると4余る。

したがって、いつも1余るとは限らないので、正しくない。

エ：$a, b, c$ は自然数なので、$k, l, m$ は0以上の整数である。

$a = 3k, b = 3l+1, c = 3m+2$

$k=0$のとき、$a=0$となるが、自然数という条件があるので、$k \ge 1$ である。したがって、$a \ge 3$

$l=0$のとき、$b=1$

$m=0$のとき、$c=2$

$a=3k, b=3l+1, c=3m+2$より、$a \ge 3, b \ge 1, c \ge 2$

もし、$l=0$、$k=1$、$m=1$ の場合、$b=1$, $a=3$, $c=5$なので、$b<a<c$となる。

したがって、$a<b<c$とは限らないので、正しくない。

オ：$b+2 = 3l+1+2 = 3l+3 = 3(l+1)$

$c+1 = 3m+2+1 = 3m+3 = 3(m+1)$

どちらも3で割り切れるので、3を約数に持つ。よって正しい。

3. 最終的な答え

ア、オ