5個の数字0, 1, 2, 3, 4の中から異なる3個を選んで並べて3桁の整数を作るとき、次の条件を満たす整数は何個作れるか。 (1) 偶数 (2) 3の倍数

1. 問題の内容

5個の数字0, 1, 2, 3, 4の中から異なる3個を選んで並べて3桁の整数を作るとき、次の条件を満たす整数は何個作れるか。

(1) 偶数

(2) 3の倍数

2. 解き方の手順

(1) 偶数の場合

3桁の整数が偶数であるためには、一の位が0, 2, 4のいずれかである必要があります。

* 一の位が0の場合：

百の位は0以外の4つの数字から選べ、十の位は残りの3つの数字から選べます。したがって、$4 \times 3 = 12$ 個の整数が作れます。

* 一の位が2または4の場合：

一の位は2通りです。百の位は0と一の位で使用した数字以外の3つの数字から選べます。十の位は残りの3つの数字から選べます。したがって、$2 \times 3 \times 3 = 18$ 個の整数が作れます。

合計で、$12 + 18 = 30$ 個の偶数が作れます。

(2) 3の倍数の場合

3桁の整数が3の倍数であるためには、各桁の数字の和が3の倍数である必要があります。 0, 1, 2, 3, 4の中から3つの数字を選び、その和が3の倍数になる組み合わせを考えます。

* {0, 1, 2}: これらを並び替えて作れる3桁の整数は、$2 \times 2 \times 1 = 4$ 個。先頭が0になるものを除外する必要があるため。$3! - 2! = 6 - 2 = 4$ 個。

* {0, 2, 4}: これらを並び替えて作れる3桁の整数は、$2 \times 2 \times 1 = 4$ 個。$3! - 2! = 6 - 2 = 4$ 個。

* {1, 2, 3}: これらを並び替えて作れる3桁の整数は、$3! = 6$ 個。

* {2, 3, 4}: これらを並び替えて作れる3桁の整数は、$3! = 6$ 個。

* {0, 3, 3}: これは除外。異なる3つではない。

* {0, 1, 5}: 5が含まれない。

* {1, 3, 5}: 5が含まれない。

* {0, 3, 6}: 6が含まれない。

* {3, 6, 9}: 6, 9が含まれない。

* {1, 2, 0}: 0, 1, 2。

* {4, 2, 0}: 0, 2, 4。

* {3, 1, 2}: 1, 2, 3。

* {2, 3, 4}: 2, 3, 4。

* {0, 4, 5}: 不可

* {1, 4, 0}: 和は5

* {0, 4, 2}: 和は6

* {1, 4, 4}: 不可

したがって、合計 $4 + 4 + 6 + 6 = 20$ 個の3の倍数が作れます。

3. 最終的な答え

(1) 偶数：30個

(2) 3の倍数：20個