1400の正の約数の個数と、正の約数の和を求めます。また、1400の正の約数のうち偶数は何個あるかを求めます。

1. 問題の内容

1400の正の約数の個数と、正の約数の和を求めます。また、1400の正の約数のうち偶数は何個あるかを求めます。

2. 解き方の手順

まず、1400を素因数分解します。

$1400 = 14 \times 100 = 2 \times 7 \times 10 \times 10 = 2 \times 7 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5^2 \times 7^1$

次に、約数の個数を求めます。約数の個数は、各素因数の指数に1を足したものを掛け合わせたものです。

$(3+1)(2+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 2 = 24$

よって、1400の正の約数の個数は24個です。

次に、約数の和を求めます。約数の和は、各素因数について、0乗からその素因数の指数までの和を求め、それらを掛け合わせたものです。

$(1 + 2 + 2^2 + 2^3)(1 + 5 + 5^2)(1 + 7) = (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 5 + 25)(1 + 7) = 15 \times 31 \times 8 = 3720$

よって、1400の正の約数の和は3720です。

最後に、1400の正の約数のうち偶数の個数を求めます。偶数の約数は、素因数2を少なくとも1つ含む必要があります。したがって、全体の約数の個数から奇数の約数の個数を引けば偶数の約数の個数が求まります。奇数の約数は、2以外の素因数（5と7）だけで構成されています。奇数の約数の個数は、$5^a \times 7^b$で表現され、$a$は0, 1, 2のいずれか、$b$は0, 1のいずれかです。つまり、$(2+1)(1+1) = 3 \times 2 = 6$ 個の奇数の約数があります。

したがって、偶数の約数の個数は、全体の約数の個数から奇数の約数の個数を引いたものです。

$24 - 6 = 18$

よって、1400の正の約数のうち偶数は18個です。

3. 最終的な答え

約数の個数：24個

約数の和：3720

偶数の約数の個数：18個