問1と問2は、それぞれ22.5°と$\pi/8$に対する三角関数（sin, cos, tan）の値を求める問題です。分母に平方根が残る場合は有理化する必要があります。

1. 問題の内容

問1と問2は、それぞれ22.5°と$\pi/8$に対する三角関数（sin, cos, tan）の値を求める問題です。分母に平方根が残る場合は有理化する必要があります。

2. 解き方の手順

問1: 22.5°に対する三角関数の値を求める

(1) sin(22.5°)

半角の公式を利用します。sin²(x/2) = (1 - cos x) / 2 を用います。

$x = 45^\circ$ とすると、 $x/2 = 22.5^\circ$ となります。

$cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$sin^2 22.5^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

$sin 22.5^\circ > 0$ なので、

$sin 22.5^\circ = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

(2) cos(22.5°)

半角の公式を利用します。cos²(x/2) = (1 + cos x) / 2 を用います。

$x = 45^\circ$ とすると、$x/2 = 22.5^\circ$ となります。

$cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$cos^2 22.5^\circ = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

$cos 22.5^\circ > 0$ なので、

$cos 22.5^\circ = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

(3) tan(22.5°)

tan(x) = sin(x) / cos(x) を用います。

$tan 22.5^\circ = \frac{sin 22.5^\circ}{cos 22.5^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

有理化するために、分子分母に$\sqrt{2 - \sqrt{2}}$をかけます。

$tan 22.5^\circ = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{4 - 2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - 2}{2} = \sqrt{2} - 1$

問2: $\pi/8$に対する三角関数の値を求める

(1) sin($\pi/8$)

$\pi/8 = 22.5^\circ$ なので、問1(1)の結果を利用します。

$sin \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

(2) cos($\pi/8$)

$\pi/8 = 22.5^\circ$ なので、問1(2)の結果を利用します。

$cos \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

(3) tan($\pi/8$)

$\pi/8 = 22.5^\circ$ なので、問1(3)の結果を利用します。

$tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$

3. 最終的な答え

問1:

(1) $sin 22.5^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

(2) $cos 22.5^\circ = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

(3) $tan 22.5^\circ = \sqrt{2} - 1$

問2:

(1) $sin \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

(2) $cos \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

(3) $tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$