大小2つのサイコロを同時に投げたとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 目の和が8になる場合の数 (2) 目の和が3の倍数になる場合の数 (3) 目の積が12の倍数になる場合の数 また、108の正の約数の個数を求める問題と、$(a+b)(c+d+e)$を展開したときにできる項の数を求める問題があります。

1. 問題の内容

大小2つのサイコロを同時に投げたとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 目の和が8になる場合の数

(2) 目の和が3の倍数になる場合の数

(3) 目の積が12の倍数になる場合の数

また、108の正の約数の個数を求める問題と、$(a+b)(c+d+e)$を展開したときにできる項の数を求める問題があります。

2. 解き方の手順

(1) 目の和が8になる組み合わせを列挙します。

(2) 目の和が3の倍数になる組み合わせを列挙します。3の倍数は3, 6, 9, 12 です。

(3) 目の積が12の倍数になる組み合わせを列挙します。

次に、108の正の約数の個数を求めます。108を素因数分解すると、$108 = 2^2 \times 3^3$です。約数の個数は、素数の指数のそれぞれに1を足して掛け合わせたものです。

最後に、$(a+b)(c+d+e)$を展開したときにできる項の数を求めます。それぞれの括弧から1つずつ項を選んで掛け合わせるので、項の数は、それぞれの括弧の項の数の積になります。

(1)

目の和が8になる組み合わせは (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) の5通りです。

(2)

目の和が3になるのは (1, 2), (2, 1)の2通り

目の和が6になるのは (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)の5通り

目の和が9になるのは (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)の4通り

目の和が12になるのは (6, 6)の1通り

したがって、合計で 2 + 5 + 4 + 1 = 12通りです。

(3)

目の積が12の倍数になるのは、積が12, 24, 36になる場合です。

積が12になるのは(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)の4通り

積が24になるのは(4, 6), (6, 4)の2通り

積が36になるのは(6, 6)の1通り

したがって、合計で4 + 2 + 1 = 7通りです。

108の正の約数の個数を求めます。

$108 = 2^2 \times 3^3$

約数の個数は $(2+1) \times (3+1) = 3 \times 4 = 12$個です。

$(a+b)(c+d+e)$を展開したときの項の数を求めます。

(a+b)の項数は2、(c+d+e)の項数は3なので、項の数は $2 \times 3 = 6$です。

3. 最終的な答え

(1) 5個

(2) 12個

(3) 7個

108の正の約数の個数：12個

$(a+b)(c+d+e)$の展開：6個