図のように奇数を並べ、縦横2個ずつの数を線で囲み、小さい方から $a, b, c, d$ とする。 (1) $a=41$ のとき、$a+b+c+d$ の値を求めよ。 (2) 枠をどこにとっても、$a+b+c+d$ の値は8の倍数になることを説明せよ。

1. 問題の内容

図のように奇数を並べ、縦横2個ずつの数を線で囲み、小さい方から $a, b, c, d$ とする。

(1) $a=41$ のとき、$a+b+c+d$ の値を求めよ。

(2) 枠をどこにとっても、$a+b+c+d$ の値は8の倍数になることを説明せよ。

2. 解き方の手順

(1) $a=41$ のとき、$b, c, d$ の値を求める。図から、$a=41$ のとき、$b=43$, $c=53$, $d=55$ となる。

よって、$a+b+c+d = 41 + 43 + 53 + 55$ を計算する。

(2) 図において、

$b = a + 2$

$c = a + 12$

$d = a + 14$

と表せる。

したがって、

$a + b + c + d = a + (a+2) + (a+12) + (a+14) = 4a + 28 = 4(a+7)$

$a$ は奇数なので、$a = 2n - 1$ (nは自然数) と表せる。

$4(a+7) = 4(2n-1+7) = 4(2n+6) = 8(n+3)$

$n+3$ は整数なので、$8(n+3)$ は8の倍数である。

よって、$a+b+c+d$ の値は8の倍数となる。

3. 最終的な答え

(1) $a+b+c+d = 41 + 43 + 53 + 55 = 192$

(2)

$a+b+c+d = a + (a+2) + (a+12) + (a+14) = 4a + 28 = 4(a+7)$

$a$ は奇数なので、$a=2n-1$ (nは自然数)と表せる。

$4(a+7) = 4(2n-1+7) = 4(2n+6) = 8(n+3)$

$n+3$ は整数なので、$8(n+3)$ は8の倍数である。

よって、$a+b+c+d$ の値は8の倍数となる。