与えられた数列の第100項と、初項から第100項までの和を求める問題です。数列は $1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, ...$ のように、自然数 $n$ が $n$ 個連続して並んでいる数列です。

1. 問題の内容

与えられた数列の第100項と、初項から第100項までの和を求める問題です。数列は $1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, ...$ のように、自然数 $n$ が $n$ 個連続して並んでいる数列です。

2. 解き方の手順

まず、第100項が何かを特定します。

数列の各項の個数を見ていくと、1は1個、2は3個、3は5個、...、nは2n-1個となっています。

$n$ までの項数の合計は、$\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = 2 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \frac{n(n+1)}{2} - n = n(n+1) - n = n^2$ となります。

$n^2$ の値が100に最も近い整数を見つけます。$10^2 = 100$ なので、数列の100番目の項は10です。

次に、初項から第100項までの和を計算します。

数列の和は、$\sum_{k=1}^{n} k(2k-1) = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k = 2 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(4n+2 - 3)}{6} = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$

となります。

$n=9$のとき、項数は $9^2 = 81$

$n=10$のとき、項数は $10^2 = 100$

第100項が10であるから、初項から第100項までの和は、1から10までの和を計算し、10が19個含まれることを考慮して計算します。

1から9までの項の和は、

$\frac{9(9+1)(4(9)-1)}{6} = \frac{9(10)(36-1)}{6} = \frac{90(35)}{6} = 15(35) = 525$

10が19個あるので、$10 \times 19 = 190$

したがって、初項から第100項までの和は、$525+190 = 715$ です。

あるいは、

1から10までを全て足すと、

$\sum_{k=1}^{10} k(2k-1) = \frac{10(10+1)(4(10)-1)}{6} = \frac{10(11)(39)}{6} = \frac{10(11)(13)}{2} = 5(11)(13) = 55(13) = 715$

3. 最終的な答え

第100項: 10

初項から第100項までの和: 715