与えられた3つの絶対値の式、(1)絶対値の方程式、(2)絶対値の不等式、(3)絶対値の方程式をそれぞれ解きます。

1. 問題の内容

与えられた3つの絶対値の式、(1)絶対値の方程式、(2)絶対値の不等式、(3)絶対値の方程式をそれぞれ解きます。

2. 解き方の手順

(1) $|x-3|=2x$

絶対値の中身の正負で場合分けします。

(i) $x-3 \geq 0$ つまり $x \geq 3$ のとき、$x-3 = 2x$ より、$-x = 3$ よって $x = -3$

しかし、$x \geq 3$ を満たさないので、この場合は解なし。

(ii) $x-3 < 0$ つまり $x < 3$ のとき、$-(x-3) = 2x$ より、$-x + 3 = 2x$ よって $3x = 3$ より $x = 1$

これは $x < 3$ を満たすので、$x=1$ は解である。

(2) $|x+1|<5x$

絶対値の中身の正負で場合分けします。

(i) $x+1 \geq 0$ つまり $x \geq -1$ のとき、$x+1 < 5x$ より、$-4x < -1$ よって $x > \frac{1}{4}$

$x \geq -1$ かつ $x > \frac{1}{4}$ なので、$x > \frac{1}{4}$

(ii) $x+1 < 0$ つまり $x < -1$ のとき、$-(x+1) < 5x$ より、$-x - 1 < 5x$ よって $-6x < 1$ より $x > -\frac{1}{6}$

$x < -1$ かつ $x > -\frac{1}{6}$ なので、解なし。

(3) $|2x-1|=x+4$

絶対値の中身の正負で場合分けします。

(i) $2x-1 \geq 0$ つまり $x \geq \frac{1}{2}$ のとき、$2x-1 = x+4$ より、$x=5$

これは $x \geq \frac{1}{2}$ を満たすので、$x=5$ は解である。

(ii) $2x-1 < 0$ つまり $x < \frac{1}{2}$ のとき、$-(2x-1) = x+4$ より、$-2x+1 = x+4$ よって $-3x = 3$ より $x = -1$

これは $x < \frac{1}{2}$ を満たすので、$x=-1$ は解である。

3. 最終的な答え

(1) $x=1$

(2) $x > \frac{1}{4}$

(3) $x = 5, -1$