問1: $x$軸上を運動する質点の速度 $v(t) = e^{-t/2} \sin(2t)$ について、以下の問いに答える。 (i) $0 \le t \le 2\pi$ の範囲で $v(t)$ のグラフの概形を描く。 (ii) 加速度 $a(t)$ を求める。 (iii) 時刻 $t$ における位置 $x(t)$ を求める（ただし、$t=0$ のとき $x=0$）。 (iv) 時刻が経つにつれて、質点の位置がどのように振る舞うかを答える。 問2: 空気抵抗を受ける質量 $m$ の物体の落下運動について、以下の問いに答える。重力加速度の大きさを $g$ とし、鉛直上向きを $y$ 軸とする。 (i) 物体が満たす運動方程式を立てる。 (ii) $t=0$ で $v=v_0$ を満たす運動方程式の解が $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ となることを確かめる。 (iii) 十分時間が経過したとき、速度が一定の速度に漸近することを示し、終端速度を求める。

1. 問題の内容

問1: $x$軸上を運動する質点の速度 $v(t) = e^{-t/2} \sin(2t)$ について、以下の問いに答える。

(i) $0 \le t \le 2\pi$ の範囲で $v(t)$ のグラフの概形を描く。

(ii) 加速度 $a(t)$ を求める。

(iii) 時刻 $t$ における位置 $x(t)$ を求める（ただし、$t=0$ のとき $x=0$）。

(iv) 時刻が経つにつれて、質点の位置がどのように振る舞うかを答える。

問2: 空気抵抗を受ける質量 $m$ の物体の落下運動について、以下の問いに答える。重力加速度の大きさを $g$ とし、鉛直上向きを $y$ 軸とする。

(i) 物体が満たす運動方程式を立てる。

(ii) $t=0$ で $v=v_0$ を満たす運動方程式の解が $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ となることを確かめる。

(iii) 十分時間が経過したとき、速度が一定の速度に漸近することを示し、終端速度を求める。

2. 解き方の手順

**問1**

(i) グラフの概形：

* $v(t) = e^{-t/2} \sin(2t)$

* $e^{-t/2}$ は減衰関数なので、時間の経過とともに振幅が小さくなる。

* $\sin(2t)$ は周期 $\pi$ の振動関数。

* $t=0$ で $v(0) = 0$

* $\sin(2t) = 0$ となるのは、$2t = n\pi$ すなわち $t = \frac{n\pi}{2}$ (nは整数)のとき。$0 \le t \le 2\pi$ では、$t = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$。

* $v(t)$ はこれらの点で $x$軸と交わるが、$t=0$と$t=2\pi$以外は極値をとる。

(ii) 加速度 $a(t)$：

加速度は速度の時間微分であるから、$a(t) = \frac{dv(t)}{dt}$。

積の微分公式を用いる。

$a(t) = \frac{d}{dt} (e^{-t/2} \sin(2t)) = (-\frac{1}{2}e^{-t/2})\sin(2t) + e^{-t/2}(2\cos(2t)) = e^{-t/2}(-\frac{1}{2}\sin(2t) + 2\cos(2t))$

$a(t) = e^{-t/2}(2\cos(2t) - \frac{1}{2}\sin(2t))$

(iii) 位置 $x(t)$：

位置は速度の時間積分であるから、$x(t) = \int v(t) dt$。

$x(t) = \int e^{-t/2} \sin(2t) dt$

部分積分を2回行う。

$I = \int e^{-t/2} \sin(2t) dt = -2e^{-t/2}\sin(2t) + \int 2e^{-t/2} \cos(2t) dt$

$= -2e^{-t/2}\sin(2t) + [-4e^{-t/2}\cos(2t) - \int -4e^{-t/2} (-\frac{1}{2})\cos(2t) dt]$

$= -2e^{-t/2}\sin(2t) - 4e^{-t/2}\cos(2t) - \int 2e^{-t/2} \cos(2t) dt$

$= -2e^{-t/2}\sin(2t) - 4e^{-t/2}\cos(2t) - 2\int e^{-t/2} \cos(2t) dt$

$I = -2e^{-t/2}\sin(2t) - 4e^{-t/2}\cos(2t) - 2[\int e^{-t/2} \cos(2t) dt ]$

$I = -2e^{-t/2}\sin(2t) - 4e^{-t/2}\cos(2t) - 2[-\frac{1}{2}e^{-t/2} \cos(2t) - \int e^{-t/2}2\sin(2t)dt] = -2e^{-t/2}\sin(2t) - 4e^{-t/2}\cos(2t) - 2[-2e^{-t/2}\cos(2t) -4I]$

$I = -2e^{-t/2}sin(2t) - 4e^{-t/2}cos(2t) +[-e^{-t/2}(-2\sin(2t)) -\int e^{-t/2}(-2) (-\frac{1}{2})sin(2t) dt]$

$I = -2e^{-t/2}sin(2t) - 4e^{-t/2}cos(2t) -2[-e^{-t/2}\cos(2t) +2I]$

$I = \int e^{-t/2}\sin(2t) dt = -2e^{-t/2} \sin(2t) - 4e^{-t/2}\cos(2t) - 4I$

$5I = e^{-t/2}(-2\sin(2t)-4\cos(2t))$

$I = -\frac{2}{5}e^{-t/2}\sin(2t)-\frac{4}{5}e^{-t/2}\cos(2t) + C$

$x(t) = \int v(t)dt = -e^{-t/2}(\frac{2}{5} \sin(2t) + \frac{4}{5} \cos(2t)) + C$

初期条件 $x(0) = 0$ より、

$0 = -(\frac{2}{5}(0)+\frac{4}{5}(1)) + C$

$0 = -\frac{4}{5} + C$

$C = \frac{4}{5}$

したがって、$x(t) = \frac{4}{5} - e^{-t/2}(\frac{2}{5} \sin(2t) + \frac{4}{5} \cos(2t))$

(iv) 時刻が経つにつれて：

$t \rightarrow \infty$ で、$e^{-t/2} \rightarrow 0$ なので、$\lim_{t\to\infty} x(t) = \frac{4}{5}$。質点の位置は $\frac{4}{5}$ に漸近する。

**問2**

(i) 運動方程式：

鉛直上向きを $y$ 軸の正の向きとすると、重力は $-mg$、空気抵抗は $-bv$ （$v$は速度）である。

したがって、運動方程式は

$m\frac{dv}{dt} = -mg - bv$

(ii) 解の確認：

与えられた解 $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ を運動方程式に代入する。

まず、$\frac{dv}{dt}$ を計算する。

$\frac{dv}{dt} = (v_0 - \frac{mg}{b}) (-\frac{b}{m}) e^{-\frac{b}{m}t}$

これを運動方程式に代入する。

$m(v_0 - \frac{mg}{b}) (-\frac{b}{m}) e^{-\frac{b}{m}t} = -mg - b((v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b})$

$-(v_0 - \frac{mg}{b}) b e^{-\frac{b}{m}t} = -mg - b(v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} - mg$

$-(v_0 - \frac{mg}{b}) b e^{-\frac{b}{m}t} = -2mg - b(v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t}$

$0 = -mg + mg$

$0 = 0$

したがって、与えられた解は運動方程式を満たす。

また、$t=0$ で $v(0) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^0 + \frac{mg}{b} = v_0 - \frac{mg}{b} + \frac{mg}{b} = v_0$ となるので、初期条件も満たしている。

(iii) 終端速度：

十分時間が経過したとき、$t \rightarrow \infty$。このとき、$e^{-\frac{b}{m}t} \rightarrow 0$。

したがって、

$\lim_{t\to\infty} v(t) = \lim_{t\to\infty} [(v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}] = (v_0 - \frac{mg}{b}) \cdot 0 + \frac{mg}{b} = \frac{mg}{b}$

よって、終端速度は $\frac{mg}{b}$。

3. 最終的な答え

**問1**

(i) グラフの概形：略（説明を参照）

(ii) 加速度：$a(t) = e^{-t/2}(2\cos(2t) - \frac{1}{2}\sin(2t))$

(iii) 位置：$x(t) = \frac{4}{5} - e^{-t/2}(\frac{2}{5} \sin(2t) + \frac{4}{5} \cos(2t))$

(iv) 質点の位置： $\frac{4}{5}$ に漸近する

**問2**

(i) 運動方程式：$m\frac{dv}{dt} = -mg - bv$

(ii) 解の確認：略（説明を参照）

(iii) 終端速度：$\frac{mg}{b}$