効用関数 $U(C, L) = (C - 20000)(L - 108)$ 、労働時間と余暇時間の合計が168時間、時間あたり賃金が600円、非労働所得が32000円の条件下で、以下の問いに答える問題です。 1. Aさんにとって、賃金とは何か。

1. 問題の内容

効用関数 $U(C, L) = (C - 20000)(L - 108)$ 、労働時間と余暇時間の合計が168時間、時間あたり賃金が600円、非労働所得が32000円の条件下で、以下の問いに答える問題です。

1. Aさんにとって、賃金とは何か。

2. 留保賃金を求める。

3. 最適解が内点解か否かを判定する。

4. 最適労働時間を求める。

5. 最適消費量を求める。

2. 解き方の手順

まず、予算制約式を立てます。

労働時間を $H$ とすると、余暇時間は $L = 168 - H$ となります。

消費財の価格は1なので、消費量 $C$ は所得で決まります。所得は労働所得 $600H$ と非労働所得 32000円の合計なので、予算制約式は以下のようになります。

$C = 600H + 32000$

余暇時間で表すと、$H = 168 - L$ なので、

$C = 600(168 - L) + 32000$

$C = 100800 - 600L + 32000$

$C = 132800 - 600L$

次に、限界代替率 (MRS) を計算します。

$MU_C = \frac{\partial U}{\partial C} = L - 108$

$MU_L = \frac{\partial U}{\partial L} = C - 20000$

$MRS_{L,C} = \frac{MU_L}{MU_C} = \frac{C - 20000}{L - 108}$

最適消費における条件は、$MRS_{L,C} = w$（賃金率、ここでは600円）です。

$\frac{C - 20000}{L - 108} = 600$

$C - 20000 = 600(L - 108)$

$C - 20000 = 600L - 64800$

$C = 600L - 44800$

これを予算制約式 $C = 132800 - 600L$ と連立させて解きます。

$600L - 44800 = 132800 - 600L$

$1200L = 177600$

$L = \frac{177600}{1200} = 148$

この余暇時間 $L=148$ を用いて最適な消費量を計算します。

$C = 132800 - 600(148)$

$C = 132800 - 88800 = 44000$

労働時間は $H = 168 - L = 168 - 148 = 20$ となります。

1. 賃金とは、余暇の限界効用の機会費用です。Aさんが1時間余暇を増やすためには、消費を諦めなければならず、その諦める消費量が賃金で測られます。

2. 留保賃金は、労働時間0の時の賃金です。非労働所得が32000円なので、留保賃金は、計算する必要がなく、ゼロ円です。留保賃金は、労働時間0のときの、MRSと一致します。

3. 最適解は、$0 < L < 168$ かつ $C > 0$ を満たす必要があります。

$L = 148$ は $0 < L < 168$ を満たしています。

$C = 44000$ は $C > 0$ を満たしています。また、$C = 44000 > 20000$ を満たしています。

また、$L=148 > 108$を満たしているので、内点解です。

4. 最適労働時間は $H = 20$ 時間です。

5. 最適消費量は $C = 44000$ です。

3. 最終的な答え

1. Aさんにとって、賃金とは 余暇の限界効用 です。

2. 留保賃金は、0 円です。

3. 最適解は、内点解 である。

4. 最適労働時間は, 20 時間である。

5. 最適消費量は, 44000 である。