(1) 縮尺が50000分の1の地図で4cmの長さは、実際には何kmの長さか。 (2) 60mの長さは、縮尺が2000分の1の縮図では何cmの長さになるか。 (3) たけしさんが、建物から6m離れたところから、建物の頂上を見上げる角度を測ったら60度でした。縮尺を200分の1として、三角形ABCの縮図を描き、それを利用して建物の実際の高さを求める。ただし、地面から目までの高さは1.4mとする。

1. 問題の内容

(1) 縮尺が50000分の1の地図で4cmの長さは、実際には何kmの長さか。

(2) 60mの長さは、縮尺が2000分の1の縮図では何cmの長さになるか。

(3) たけしさんが、建物から6m離れたところから、建物の頂上を見上げる角度を測ったら60度でした。縮尺を200分の1として、三角形ABCの縮図を描き、それを利用して建物の実際の高さを求める。ただし、地面から目までの高さは1.4mとする。

2. 解き方の手順

(1) 縮尺50000分の1は、地図上の1cmが実際には50000cmであることを意味する。

まず、4cmに対応する実際の長さをcmで計算する。

$4 \text{ cm} \times 50000 = 200000 \text{ cm}$

次に、cmをkmに変換する。1km = 100000cmなので、

$200000 \text{ cm} = \frac{200000}{100000} \text{ km} = 2 \text{ km}$

(2) 縮尺2000分の1は、実際の2000cmが縮図上では1cmになることを意味する。

まず、60mをcmに変換する。1m = 100cmなので、

$60 \text{ m} = 60 \times 100 \text{ cm} = 6000 \text{ cm}$

次に、6000cmが縮図上で何cmになるかを計算する。

$\frac{6000}{2000} \text{ cm} = 3 \text{ cm}$

(3) 縮尺200分の1で三角形ABCを描く。

ABは6mなので、縮図では $600 \text{ cm} \div 200 = 3 \text{ cm}$ となる。

角Bは60度。

縮図上でACの長さを測り、実際の長さを計算する。ここでは縮図を利用する前提なので、$\tan(60^\circ) = \frac{\text{AC}}{\text{AB}}$の関係を用いるのが難しい。

縮図上でACの長さを測った結果が $x$ cmだったとすると、実際の長さは $200x$ cmとなる。これをメートルに変換すると $2x$ mとなる。

建物の高さは、この$2x$ mに目の高さ1.4mを加えたものになる。

$2x+1.4$ が建物の高さとなる。

図から判断するに、縮図での建物の高さはおおよそ $5.2 cm$ となる。よって、実際の建物の高さは $5.2 * 2 = 10.4m$。目の高さが $1.4m$ なので建物の高さは $10.4 + 1.4 = 11.8 m$ 程度。

3. 最終的な答え

(1) 2 km

(2) 3 cm

(3) 約11.8 m