与えられた式 $\sqrt{5}(2\sqrt{15} + \sqrt{30})$ を計算し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{5}(2\sqrt{15} + \sqrt{30})$ を計算し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{5}$ を括弧の中に分配します。

$\sqrt{5}(2\sqrt{15} + \sqrt{30}) = 2\sqrt{5}\sqrt{15} + \sqrt{5}\sqrt{30}$

次に、根号の中をまとめます。

$2\sqrt{5 \cdot 15} + \sqrt{5 \cdot 30} = 2\sqrt{75} + \sqrt{150}$

それぞれの根号の中を素因数分解します。

$75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3$

$150 = 25 \cdot 6 = 5^2 \cdot 6 = 5^2 \cdot 2 \cdot 3$

これらを代入します。

$2\sqrt{5^2 \cdot 3} + \sqrt{5^2 \cdot 2 \cdot 3} = 2 \cdot 5\sqrt{3} + 5\sqrt{6} = 10\sqrt{3} + 5\sqrt{6}$

これ以上簡略化できないので、これが答えです。

3. 最終的な答え

$10\sqrt{3} + 5\sqrt{6}$