アルゴンを $2000 \text{ cm}^3$ から $500 \text{ cm}^3$ まで圧縮しながら、同時に $300 \text{ K}$ から $400 \text{ K}$ まで加熱したときの、モルエントロピーの変化を計算する問題です。定積モル熱容量 $C_{V,m} = \frac{3}{2}R$ が与えられています。有効数字3桁で解答する必要があります。

1. 問題の内容

アルゴンを $2000 \text{ cm}^3$ から $500 \text{ cm}^3$ まで圧縮しながら、同時に $300 \text{ K}$ から $400 \text{ K}$ まで加熱したときの、モルエントロピーの変化を計算する問題です。定積モル熱容量 $C_{V,m} = \frac{3}{2}R$ が与えられています。有効数字3桁で解答する必要があります。

2. 解き方の手順

モルエントロピーの変化 $\Delta S_m$ は、温度変化と体積変化の両方に依存します。可逆過程におけるエントロピー変化は、以下の式で表されます。

$\Delta S_m = \int_{T_1}^{T_2} \frac{C_{V,m}}{T} dT + \int_{V_1}^{V_2} \frac{P}{T} dV$

理想気体の場合、$PV=RT$ より $\frac{P}{T} = \frac{R}{V}$ なので、

$\Delta S_m = \int_{T_1}^{T_2} \frac{C_{V,m}}{T} dT + \int_{V_1}^{V_2} \frac{R}{V} dV$

$C_{V,m}$ は定数なので積分から出すことができ、

$\Delta S_m = C_{V,m} \int_{T_1}^{T_2} \frac{1}{T} dT + R \int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V} dV$

$\Delta S_m = C_{V,m} \ln \frac{T_2}{T_1} + R \ln \frac{V_2}{V_1}$

問題で与えられた $C_{V,m} = \frac{3}{2}R$ を代入すると、

$\Delta S_m = \frac{3}{2}R \ln \frac{T_2}{T_1} + R \ln \frac{V_2}{V_1}$

$R = 8.314 \text{ J/(mol K)}$、$T_1 = 300 \text{ K}$、$T_2 = 400 \text{ K}$、$V_1 = 2000 \text{ cm}^3$、$V_2 = 500 \text{ cm}^3$ を代入します。

$\Delta S_m = \frac{3}{2} \times 8.314 \times \ln \frac{400}{300} + 8.314 \times \ln \frac{500}{2000}$

$\Delta S_m = \frac{3}{2} \times 8.314 \times \ln \frac{4}{3} + 8.314 \times \ln \frac{1}{4}$

$\Delta S_m = 12.471 \times \ln \frac{4}{3} + 8.314 \times \ln \frac{1}{4}$

$\Delta S_m = 12.471 \times 0.28768 + 8.314 \times (-1.38629)$

$\Delta S_m = 3.58827 - 11.52573$

$\Delta S_m = -7.93746 \text{ J/(mol K)}$

有効数字3桁で表すと、$\Delta S_m = -7.94 \text{ J/(mol K)}$

3. 最終的な答え

$-7.94 \text{ J/(mol K)}$