ビルの屋上から小球Aを初速度 $v_0$ で鉛直上向きに投げ上げた。小球は時刻 $T$ で最高点に達し、その後落下して屋上と同じ高さの位置を通過し、時刻 $3T$ に地面に到達した。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視できるものとする。 問1: 初速度 $v_0$ はいくらか。$g$、$T$ を用いて答えよ。 問2: 小球Aが $t=0$ に投げ上げられた後に、ビルの屋上と同じ高さの位置を通過した時刻はいくらか。$T$ を用いて答えよ。 問3: 地面からビルの屋上までの高さを求めたい。(1) $t=0$ に投げ上げられてから $t=3T$ に地面に到達するまでの間のAの運動について、縦軸にAの速度 $v$、横軸に時刻 $t$ をとって $v$-$t$ グラフを描け。ただし、Aの速度は鉛直上向きを正とする。(2) (1)で描いた $v$-$t$ グラフを用いて、地面からビルの屋上までの高さを、$v_0$、$T$ を用いて答えよ。

1. 問題の内容

ビルの屋上から小球Aを初速度 $v_0$ で鉛直上向きに投げ上げた。小球は時刻 $T$ で最高点に達し、その後落下して屋上と同じ高さの位置を通過し、時刻 $3T$ に地面に到達した。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視できるものとする。

問1: 初速度 $v_0$ はいくらか。$g$、$T$ を用いて答えよ。

問2: 小球Aが $t=0$ に投げ上げられた後に、ビルの屋上と同じ高さの位置を通過した時刻はいくらか。$T$ を用いて答えよ。

問3: 地面からビルの屋上までの高さを求めたい。(1) $t=0$ に投げ上げられてから $t=3T$ に地面に到達するまでの間のAの運動について、縦軸にAの速度 $v$、横軸に時刻 $t$ をとって $v$-$t$ グラフを描け。ただし、Aの速度は鉛直上向きを正とする。(2) (1)で描いた $v$-$t$ グラフを用いて、地面からビルの屋上までの高さを、$v_0$、$T$ を用いて答えよ。

2. 解き方の手順

問1:

小球が最高点に達する時刻 $T$ において、速度は0になる。鉛直上向きを正とすると、等加速度運動の公式 $v = v_0 - gt$ より、

$0 = v_0 - gT$

$v_0 = gT$

問2:

小球がビルの屋上と同じ高さに戻ってくる時刻は、投げ上げてから最高点に達するまでの時間 $T$ の2倍である。したがって、時刻は $2T$ である。

これは、公式 $y = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$ に $y=0$ を代入して $t$ を求めることでも確認できる。

$0 = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$

$0 = gTt - \frac{1}{2}gt^2$

$0 = t(gT - \frac{1}{2}gt)$

$t = 0$ または $t = 2T$

問3:

(1) $v$-$t$ グラフを描く。$t=0$ での速度は $v_0=gT$、$t=T$ での速度は $0$、$t=2T$ での速度は $-v_0 = -gT$、$t=3T$ での速度は $-2v_0 = -2gT$ となる。よって、$v$-$t$ グラフは傾きが $-g$ の直線となる。

(2) 地面からビルの屋上までの高さは、$t=0$ から $t=3T$ までの $v$-$t$ グラフの面積の絶対値である。

$v$-$t$ グラフと $t$ 軸で囲まれた部分の面積は、台形の面積として計算できる。台形の高さは $3T$であり、上底の長さは$gT$、下底の長さは$2gT$である。ただし、グラフが負の領域にあるため、面積は負の値として計算される。

したがって、地面からビルの屋上までの高さ $h$ は、

$h = |\frac{1}{2} \times (gT + 2gT) \times 3T| = \frac{1}{2} \times 3gT \times 3T = \frac{9}{2}gT^2$

$v_0 = gT$より、$h = \frac{9}{2}v_0 T$

3. 最終的な答え

問1: $v_0 = gT$

問2: $2T$

問3: 地面からビルの屋上までの高さは $\frac{9}{2} v_0 T$