濃度が異なる300gの食塩水Aと200gの食塩水Bがある。AとBを混ぜると、Aより濃度が2%低い食塩水ができる。さらに、水を500g入れて混ぜると、濃度はBと同じになる。食塩水AとBの濃度をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

濃度が異なる300gの食塩水Aと200gの食塩水Bがある。AとBを混ぜると、Aより濃度が2%低い食塩水ができる。さらに、水を500g入れて混ぜると、濃度はBと同じになる。食塩水AとBの濃度をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

食塩水Aの濃度を$x$ [%]、食塩水Bの濃度を$y$ [%]とする。

まず、食塩水AとBを混ぜた時の食塩の量を考える。

食塩水Aに含まれる食塩の量は$300 \times \frac{x}{100} = 3x$ [g]

食塩水Bに含まれる食塩の量は$200 \times \frac{y}{100} = 2y$ [g]

混ぜた後の食塩水全体の量は$300 + 200 = 500$ [g]

混ぜた後の食塩水の濃度は$x-2$ [%]なので、食塩の量は$500 \times \frac{x-2}{100} = 5(x-2)$ [g]

よって、

$3x + 2y = 5(x-2)$

$3x + 2y = 5x - 10$

$2y = 2x - 10$

$y = x - 5$ (1)

次に、さらに水を500g入れた時のことを考える。

食塩水全体の量は$500 + 500 = 1000$ [g]

食塩の量は変わらず、$3x + 2y$ [g]なので、濃度は$\frac{3x+2y}{1000} \times 100 = \frac{3x+2y}{10}$ [%]

これが$y$ [%]と等しいので、

$\frac{3x+2y}{10} = y$

$3x + 2y = 10y$

$3x = 8y$ (2)

(1)を(2)に代入する。

$3x = 8(x-5)$

$3x = 8x - 40$

$5x = 40$

$x = 8$

(1)より、$y = 8 - 5 = 3$

したがって、食塩水Aの濃度は8%、食塩水Bの濃度は3%。

3. 最終的な答え

食塩水Aの濃度は8%、食塩水Bの濃度は3%。