## 問題４

## 問題４

1. 問題の内容

a, a, a, b, b, c, d の 7 個の文字を並べて文字列を作る問題です。

(1) 全部で何通りの文字列ができるか。

(2) b で始まる文字列は何通りあるか。

(3) 両端が a の文字列は何通りあるか。

(4) 少なくとも一方の端が子音である文字列は何通りあるか。

## 解き方の手順

(1) 全部で何通りの文字列ができるか。

7個の文字を並べる順列を考えますが、同じ文字が複数あるので、重複順列の考え方を使います。

全体の順列は $7!$ ですが、a が 3 個、b が 2 個あるため、それぞれの順列で割る必要があります。

したがって、

$\frac{7!}{3!2!1!1!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)(1)(1)} = 7 \times 6 \times 5 \times 2 = 420$

または、組み合わせの考え方を使うと、7個の場所から a の場所を 3 つ選び、残りの 4 個の場所から b の場所を 2 つ選び、残りの 2 個の場所から c の場所を 1 つ選び、最後に d の場所を 1 つ選ぶので、

${}_7C_3 \times {}_4C_2 \times {}_2C_1 \times {}_1C_1 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 2 \times 1 = 35 \times 6 \times 2 = 420$

(2) b で始まる文字列は何通りあるか。

最初に b を固定し、残りの 6 個の文字を並べる順列を考えます。残りの文字は a, a, a, b, c, d です。

$\frac{6!}{3!1!1!1!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)(1)(1)} = 6 \times 5 \times 4 = 120$

または、6個の場所から a の場所を 3 つ選び、残りの 3 個の場所から b, c, d の場所をそれぞれ 1 つずつ選ぶので、

${}_6C_3 \times {}_3C_1 \times {}_2C_1 \times {}_1C_1 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 3 \times 2 \times 1 = 20 \times 6 = 120$

(3) 両端が a の文字列は何通りあるか。

両端に a を固定し、残りの 5 個の文字を並べる順列を考えます。残りの文字は a, b, b, c, d です。

$\frac{5!}{1!2!1!1!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(1)(2 \times 1)(1)(1)} = 5 \times 4 \times 3 = 60$

または、5個の場所から a の場所を 1 つ選び、残りの 4 個の場所から b の場所を 2 つ選び、残りの 2 個の場所から c の場所を 1 つ選び、最後に d の場所を 1 つ選ぶので、

${}_5C_1 \times {}_4C_2 \times {}_2C_1 \times {}_1C_1 = 5 \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 2 \times 1 = 5 \times 6 \times 2 = 60$

(4) 少なくとも一方の端が子音である文字列は何通りできるか。

全体から両端が母音である文字列の数を引けばよいです。母音は a なので、これは (3) の結果と同じになります。

したがって、

$420 - 60 = 360$

## 最終的な答え

(1) 420 通り

(2) 120 通り

(3) 60 通り

(4) 360 通り