5個の数字0, 1, 2, 3, 4から異なる3個を選んで並べ、3桁の整数を作る。 (1) 3の倍数は何個作れるか。 (2) 小さい方から順に並べると、42番目の数は何か。

算数組み合わせ整数倍数順列
2025/5/27

1. 問題の内容

5個の数字0, 1, 2, 3, 4から異なる3個を選んで並べ、3桁の整数を作る。
(1) 3の倍数は何個作れるか。
(2) 小さい方から順に並べると、42番目の数は何か。

2. 解き方の手順

(1) 3の倍数について
3の倍数となるためには、3つの数字の合計が3の倍数になる必要がある。
考えられる数字の組み合わせは以下の通り。
* {0, 1, 2}
* {0, 2, 4}
* {1, 2, 3}
* {2, 3, 4}
* {0, 3, 3}
* {1, 3, 5}
ただし、今回の選択肢は0, 1, 2, 3, 4なので、
* {0, 1, 2}
* {0, 2, 4}
* {1, 2, 3}
* {2, 3, 4}
のみである。
{0, 1, 2}の場合、3桁の整数は、0を百の位に置けないため、
2×2×1=42 \times 2 \times 1 = 4通り
{0, 2, 4}の場合も同様に、
2×2×1=42 \times 2 \times 1 = 4通り
{1, 2, 3}の場合、
3×2×1=63 \times 2 \times 1 = 6通り
{2, 3, 4}の場合も、
3×2×1=63 \times 2 \times 1 = 6通り
したがって、3の倍数の個数は、
4+4+6+6=204 + 4 + 6 + 6 = 20
(2) 42番目の数について
まず、百の位が1の場合の数を考える。
102, 103, 104, 120, 123, 124, 130, 132, 134, 140, 142, 143
1 _ _ の形の数は 4×3=124 \times 3 = 12個存在する。
次に、百の位が2の場合の数を考える。
2 _ _ の形の数は 4×3=124 \times 3 = 12個存在する。
次に、百の位が3の場合の数を考える。
3 _ _ の形の数は 4×3=124 \times 3 = 12個存在する。
ここまでで、12+12+12=3612+12+12 = 36個の数が存在する。
42番目の数は、百の位が4の数のうち、6番目の数になる。
401, 402, 403, 410, 412, 413...
413が6番目である。

3. 最終的な答え

(1) 20個
(2) 413

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