5個の数字0, 1, 2, 3, 4から異なる3個を選んで並べ、3桁の整数を作る。 (1) 3の倍数は何個作れるか。 (2) 小さい方から順に並べると、42番目の数は何か。

1. 問題の内容

5個の数字0, 1, 2, 3, 4から異なる3個を選んで並べ、3桁の整数を作る。

(1) 3の倍数は何個作れるか。

(2) 小さい方から順に並べると、42番目の数は何か。

2. 解き方の手順

(1) 3の倍数について

3の倍数となるためには、3つの数字の合計が3の倍数になる必要がある。

考えられる数字の組み合わせは以下の通り。

* {0, 1, 2}

* {0, 2, 4}

* {1, 2, 3}

* {2, 3, 4}

* {0, 3, 3}

* {1, 3, 5}

ただし、今回の選択肢は0, 1, 2, 3, 4なので、

* {0, 1, 2}

* {0, 2, 4}

* {1, 2, 3}

* {2, 3, 4}

のみである。

{0, 1, 2}の場合、3桁の整数は、0を百の位に置けないため、

$2 \times 2 \times 1 = 4$通り

{0, 2, 4}の場合も同様に、

$2 \times 2 \times 1 = 4$通り

{1, 2, 3}の場合、

$3 \times 2 \times 1 = 6$通り

{2, 3, 4}の場合も、

$3 \times 2 \times 1 = 6$通り

したがって、3の倍数の個数は、

$4 + 4 + 6 + 6 = 20$個

(2) 42番目の数について

まず、百の位が1の場合の数を考える。

102, 103, 104, 120, 123, 124, 130, 132, 134, 140, 142, 143

1 _ _ の形の数は $4 \times 3 = 12$個存在する。

次に、百の位が2の場合の数を考える。

2 _ _ の形の数は $4 \times 3 = 12$個存在する。

次に、百の位が3の場合の数を考える。

3 _ _ の形の数は $4 \times 3 = 12$個存在する。

ここまでで、$12+12+12 = 36$個の数が存在する。

42番目の数は、百の位が4の数のうち、6番目の数になる。

401, 402, 403, 410, 412, 413...

413が6番目である。

3. 最終的な答え

(1) 20個

(2) 413