1g, 2g, 3g の3種類の分銅をどれも用いて、ちょうど11g のものを量るとき、分銅の個数の組合せは何通りあるか。ただし、1g, 2g, 3g の分銅の個数をそれぞれ $x, y, z$ としたとき、$x+2y+3z=11$ を満たす自然数 $(x, y, z)$ の組を考える。

1. 問題の内容

1g, 2g, 3g の3種類の分銅をどれも用いて、ちょうど11g のものを量るとき、分銅の個数の組合せは何通りあるか。ただし、1g, 2g, 3g の分銅の個数をそれぞれ $x, y, z$ としたとき、$x+2y+3z=11$ を満たす自然数 $(x, y, z)$ の組を考える。

2. 解き方の手順

$x, y, z$ は自然数なので、$x \geq 1$, $y \geq 1$, $z \geq 1$ である。

$x+2y+3z=11$ の $z$ の係数が最も大きいので、$z$ の取りうる値で場合分けする。

$x \geq 1$ と $y \geq 1$ より、$3z \leq 11 - 1 - 2 = 8$ なので、$z \leq \frac{8}{3} \approx 2.66$ である。

$z \geq 1$ であるから、$z$ は 1 または 2 である。

(i) $z=1$ のとき、$x+2y+3(1)=11$ より、$x+2y=8$。

$x \geq 1$ より、$2y \leq 8 - 1 = 7$ なので、$y \leq \frac{7}{2} = 3.5$ である。

$y \geq 1$ であるから、$y$ は 1, 2, 3 のいずれかである。

- $y=1$ のとき、$x=8-2(1)=6$

- $y=2$ のとき、$x=8-2(2)=4$

- $y=3$ のとき、$x=8-2(3)=2$

したがって、$z=1$ のとき、$(x,y,z) = (6,1,1), (4,2,1), (2,3,1)$ の3通り。

(ii) $z=2$ のとき、$x+2y+3(2)=11$ より、$x+2y=5$。

$x \geq 1$ より、$2y \leq 5 - 1 = 4$ なので、$y \leq \frac{4}{2} = 2$ である。

$y \geq 1$ であるから、$y$ は 1 または 2 である。

- $y=1$ のとき、$x=5-2(1)=3$

- $y=2$ のとき、$x=5-2(2)=1$

したがって、$z=2$ のとき、$(x,y,z) = (3,1,2), (1,2,2)$ の2通り。

(i), (ii) より、組合せは $3+2=5$ 通りである。

3. 最終的な答え

5通り