1g, 2g, 3g の3種類の分銅をどれも用いて、ちょうど11g のものを量るとき、分銅の個数の組合せは何通りあるか。ただし、1g, 2g, 3g の分銅の個数をそれぞれ $x, y, z$ としたとき、$x+2y+3z=11$ を満たす自然数 $(x, y, z)$ の組を考える。

算数方程式整数問題場合の数
2025/5/27

1. 問題の内容

1g, 2g, 3g の3種類の分銅をどれも用いて、ちょうど11g のものを量るとき、分銅の個数の組合せは何通りあるか。ただし、1g, 2g, 3g の分銅の個数をそれぞれ x,y,zx, y, z としたとき、x+2y+3z=11x+2y+3z=11 を満たす自然数 (x,y,z)(x, y, z) の組を考える。

2. 解き方の手順

x,y,zx, y, z は自然数なので、x1x \geq 1, y1y \geq 1, z1z \geq 1 である。
x+2y+3z=11x+2y+3z=11zz の係数が最も大きいので、zz の取りうる値で場合分けする。
x1x \geq 1y1y \geq 1 より、3z1112=83z \leq 11 - 1 - 2 = 8 なので、z832.66z \leq \frac{8}{3} \approx 2.66 である。
z1z \geq 1 であるから、zz は 1 または 2 である。
(i) z=1z=1 のとき、x+2y+3(1)=11x+2y+3(1)=11 より、x+2y=8x+2y=8
x1x \geq 1 より、2y81=72y \leq 8 - 1 = 7 なので、y72=3.5y \leq \frac{7}{2} = 3.5 である。
y1y \geq 1 であるから、yy は 1, 2, 3 のいずれかである。
- y=1y=1 のとき、x=82(1)=6x=8-2(1)=6
- y=2y=2 のとき、x=82(2)=4x=8-2(2)=4
- y=3y=3 のとき、x=82(3)=2x=8-2(3)=2
したがって、z=1z=1 のとき、(x,y,z)=(6,1,1),(4,2,1),(2,3,1)(x,y,z) = (6,1,1), (4,2,1), (2,3,1) の3通り。
(ii) z=2z=2 のとき、x+2y+3(2)=11x+2y+3(2)=11 より、x+2y=5x+2y=5
x1x \geq 1 より、2y51=42y \leq 5 - 1 = 4 なので、y42=2y \leq \frac{4}{2} = 2 である。
y1y \geq 1 であるから、yy は 1 または 2 である。
- y=1y=1 のとき、x=52(1)=3x=5-2(1)=3
- y=2y=2 のとき、x=52(2)=1x=5-2(2)=1
したがって、z=2z=2 のとき、(x,y,z)=(3,1,2),(1,2,2)(x,y,z) = (3,1,2), (1,2,2) の2通り。
(i), (ii) より、組合せは 3+2=53+2=5 通りである。

3. 最終的な答え

5通り

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