5個の数字1, 2, 3, 4, 5の中から異なる3個を選び並べて3桁の整数を作る。以下の条件を満たす整数は何個作れるか。 (1) 5の倍数 (2) 偶数 (3) 奇数

1. 問題の内容

5個の数字1, 2, 3, 4, 5の中から異なる3個を選び並べて3桁の整数を作る。以下の条件を満たす整数は何個作れるか。

(1) 5の倍数

(2) 偶数

(3) 奇数

2. 解き方の手順

(1) 5の倍数

5の倍数になるためには、一の位が5である必要がある。

一の位が5で固定されるので、残りの百の位と十の位には、1, 2, 3, 4の4つの数字から2つを選んで並べる。

これは順列の問題なので、$_{4}P_{2}$ で計算できる。

$_{4}P_{2} = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$

(2) 偶数

偶数になるためには、一の位が2または4である必要がある。

(i) 一の位が2の場合：

百の位と十の位には、1, 3, 4, 5の4つの数字から2つを選んで並べる。

これは順列の問題なので、$_{4}P_{2}$ で計算できる。

$_{4}P_{2} = 12$

(ii) 一の位が4の場合：

百の位と十の位には、1, 2, 3, 5の4つの数字から2つを選んで並べる。

これも順列の問題なので、$_{4}P_{2}$ で計算できる。

$_{4}P_{2} = 12$

したがって、偶数の個数は、12 + 12 = 24個

(3) 奇数

奇数になるためには、一の位が1, 3, 5のいずれかである必要がある。

(i) 一の位が1の場合：

百の位と十の位には、2, 3, 4, 5の4つの数字から2つを選んで並べる。

これは順列の問題なので、$_{4}P_{2}$ で計算できる。

$_{4}P_{2} = 12$

(ii) 一の位が3の場合：

百の位と十の位には、1, 2, 4, 5の4つの数字から2つを選んで並べる。

これも順列の問題なので、$_{4}P_{2}$ で計算できる。

$_{4}P_{2} = 12$

(iii) 一の位が5の場合：

百の位と十の位には、1, 2, 3, 4の4つの数字から2つを選んで並べる。

これも順列の問題なので、$_{4}P_{2}$ で計算できる。

$_{4}P_{2} = 12$

したがって、奇数の個数は、12 + 12 + 12 = 36個

3. 最終的な答え

(1) 5の倍数：12個

(2) 偶数：24個

(3) 奇数：36個