一次元上を等加速度運動している物体がある。時刻 $t=0$ に点 $P(x=0)$ を右向きに $12 \mathrm{m/s}$ の速さで通過する。8.0秒後には点Qを左向きに $20 \mathrm{m/s}$ の速さで通過した。 (1) この物体の加速度の大きさと向きを求めよ。 (2) この物体が折り返し地点Rに達する時刻 $t_R$ [s] と点Rの位置 $x_R$ [m] を求めよ。 (3) 点Pを左向きに通過する時刻 $t_P$ [s] とその時の速さ $v_P$ [m/s] を求めよ。

1. 問題の内容

一次元上を等加速度運動している物体がある。時刻 $t=0$ に点 $P(x=0)$ を右向きに $12 \mathrm{m/s}$ の速さで通過する。8.0秒後には点Qを左向きに $20 \mathrm{m/s}$ の速さで通過した。

(1) この物体の加速度の大きさと向きを求めよ。

(2) この物体が折り返し地点Rに達する時刻 $t_R$ [s] と点Rの位置 $x_R$ [m] を求めよ。

(3) 点Pを左向きに通過する時刻 $t_P$ [s] とその時の速さ $v_P$ [m/s] を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等加速度運動の公式 $v = v_0 + at$ を用いる。右向きを正とすると、

$-20 \mathrm{m/s} = 12 \mathrm{m/s} + a (8.0 \mathrm{s})$

$8a = -32$ なので

$a = -4.0 \mathrm{m/s^2}$

よって、加速度は左向きに $4.0 \mathrm{m/s^2}$ である。

(2) 折り返すとき速度は $0 \mathrm{m/s}$ となるから、

$0 = 12 \mathrm{m/s} + (-4.0 \mathrm{m/s^2}) t_R$

$4t_R = 12$ なので

$t_R = 3.0 \mathrm{s}$

点Rの位置 $x_R$ は、等加速度運動の公式 $x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ より、

$x_R = (12 \mathrm{m/s}) (3.0 \mathrm{s}) + \frac{1}{2} (-4.0 \mathrm{m/s^2}) (3.0 \mathrm{s})^2 = 36 \mathrm{m} - 18 \mathrm{m} = 18 \mathrm{m}$

(3) 点Pを左向きに通過するとき $x=0$ なので、

$0 = (12 \mathrm{m/s}) t + \frac{1}{2} (-4.0 \mathrm{m/s^2}) t^2$

$0 = 12t - 2t^2 = t(12 - 2t)$

$t = 0, 6.0$

よって、点Pを左向きに通過する時刻は $t_P = 6.0 \mathrm{s}$

この時の速度は、

$v_P = v_0 + at = 12 \mathrm{m/s} + (-4.0 \mathrm{m/s^2}) (6.0 \mathrm{s}) = 12 \mathrm{m/s} - 24 \mathrm{m/s} = -12 \mathrm{m/s}$

速さは $12 \mathrm{m/s}$

3. 最終的な答え

(1) 加速度：左向きに $4.0 \mathrm{m/s^2}$

(2) 時刻 $t_R = 3.0 \mathrm{s}$, 位置 $x_R = 18 \mathrm{m}$

(3) 時刻 $t_P = 6.0 \mathrm{s}$, 速さ $v_P = 12 \mathrm{m/s}$