(1) 5人の生徒の英語と数学のテストの成績が表で与えられている。(a)英語の平均点を求める。(b)数学の分散を求める。(c)数学と英語の相関係数を求める。 (2) 整式$P(x)$を$x^2 - 2x - 3$で割った余りが$2x-1$であるとき、${P(x)}^3 - P(x)$を$x^2 - 2x - 3$で割った余りを求める。 (3) 関数$f(x) = \int_0^x (-t^3 + t^2 + 2t) dt$ が最大値を取る$x$の値と、その最大値を求める。 (4) $x \geq 1, y \geq 1$ であり、$(\log_3 x - 2)^2 + (\log_3 y)^2 = 5$が成り立つとき、$xy^2$の最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) 5人の生徒の英語と数学のテストの成績が表で与えられている。(a)英語の平均点を求める。(b)数学の分散を求める。(c)数学と英語の相関係数を求める。

(2) 整式$P(x)$を$x^2 - 2x - 3$で割った余りが$2x-1$であるとき、${P(x)}^3 - P(x)$を$x^2 - 2x - 3$で割った余りを求める。

(3) 関数$f(x) = \int_0^x (-t^3 + t^2 + 2t) dt$ が最大値を取る$x$の値と、その最大値を求める。

(4) $x \geq 1, y \geq 1$ であり、$(\log_3 x - 2)^2 + (\log_3 y)^2 = 5$が成り立つとき、$xy^2$の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

(a) 英語の平均点は $\frac{3+3+8+8+8}{5} = \frac{30}{5} = 6$。

(b) 数学の平均点は $\frac{2+3+6+5+9}{5} = \frac{25}{5} = 5$。

数学の分散は $\frac{(2-5)^2 + (3-5)^2 + (6-5)^2 + (5-5)^2 + (9-5)^2}{5} = \frac{9+4+1+0+16}{5} = \frac{30}{5} = 6$。

(c) 数学と英語の共分散は、$\frac{1}{5}[(2-5)(3-6) + (3-5)(3-6) + (6-5)(8-6) + (5-5)(8-6) + (9-5)(8-6)] = \frac{1}{5}[(-3)(-3) + (-2)(-3) + (1)(2) + (0)(2) + (4)(2)] = \frac{1}{5}[9+6+2+0+8] = \frac{25}{5} = 5$

英語の標準偏差は $\sqrt{\frac{(3-6)^2 + (3-6)^2 + (8-6)^2 + (8-6)^2 + (8-6)^2}{5}} = \sqrt{\frac{9+9+4+4+4}{5}} = \sqrt{\frac{30}{5}} = \sqrt{6}$

数学の標準偏差は $\sqrt{6}$

相関係数は $\frac{5}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{5}{6} \approx 0.83333$

小数第3位を四捨五入すると 0.83。

(2)

$P(x) = (x^2 - 2x - 3)Q(x) + 2x - 1$

$P(x)^3 - P(x) = [ (x^2 - 2x - 3)Q(x) + 2x - 1 ]^3 - [ (x^2 - 2x - 3)Q(x) + 2x - 1 ]$

$P(x)^3 - P(x) = (2x-1)^3 - (2x-1) + (x^2-2x-3)R(x)$

$(2x-1)^3 - (2x-1) = (8x^3 - 12x^2 + 6x - 1) - (2x - 1) = 8x^3 - 12x^2 + 4x = (x^2 - 2x - 3)(8x+4) + 28x + 12$

$8x^3 - 12x^2 + 4x = (x^2-2x-3)(8x+4) + (16+12+4)x+12$

$(x^2 - 2x - 3) = (x-3)(x+1)$

$P(3) = 2(3)-1 = 5$

$P(-1) = 2(-1) - 1 = -3$

$P(x)^3 - P(x)$を$x^2-2x-3$で割った余りを$ax+b$とする

$P(3)^3 - P(3) = 5^3 - 5 = 125 - 5 = 120 = 3a + b$

$P(-1)^3 - P(-1) = (-3)^3 - (-3) = -27 + 3 = -24 = -a + b$

$4a = 144$

$a = 36$

$b = -24 + a = 12$

よって、余りは$36x+12$

(3)

$f(x) = \int_0^x (-t^3 + t^2 + 2t) dt = [-\frac{1}{4}t^4 + \frac{1}{3}t^3 + t^2]_0^x = -\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + x^2$

$f'(x) = -x^3 + x^2 + 2x = -x(x^2 - x - 2) = -x(x-2)(x+1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x=-1, 0, 2$

$f'(x) > 0$ となるのは $x<-1, 0<x<2$

$f'(x) < 0$ となるのは $-1<x<0, x>2$

$x = 2$ で最大値をとる。

$f(2) = -\frac{1}{4}(16) + \frac{1}{3}(8) + 4 = -4 + \frac{8}{3} + 4 = \frac{8}{3}$

(4)

$(\log_3 x - 2)^2 + (\log_3 y)^2 = 5$

$\log_3 x = X, \log_3 y = Y$ とおくと、$(X-2)^2 + Y^2 = 5$

$x \geq 1$ なので $X \geq 0$

$y \geq 1$ なので $Y \geq 0$

$XY^2$ の最小値を求める。

$\log_3(xy^2) = \log_3 x + 2\log_3 y = X + 2Y$

$X+2Y = k$ とおくと、 $X = k - 2Y$

$(k - 2Y - 2)^2 + Y^2 = 5$

$(k-2)^2 - 4(k-2)Y + 4Y^2 + Y^2 = 5$

$5Y^2 - 4(k-2)Y + (k-2)^2 - 5 = 0$

この$Y$についての二次方程式が$Y \geq 0$の範囲で解を持つ条件は、判別式$D \geq 0$

$D = 16(k-2)^2 - 20((k-2)^2 - 5) = 16(k-2)^2 - 20(k-2)^2 + 100 = -4(k-2)^2 + 100 \geq 0$

$(k-2)^2 \leq 25$

$-5 \leq k-2 \leq 5$

$-3 \leq k \leq 7$

$k = -3$ のとき $Y = \frac{4(-5) \pm \sqrt{0}}{10} = -2$ これは$Y \geq 0$ に反する。

なので、 $Y = 0$ のとき $(X-2)^2 = 5$, $X = 2 + \sqrt{5}$ これは$X \geq 0$ を満たす。

$k = X + 2Y = 2 + \sqrt{5}$

$xy^2 = 3^{2+\sqrt{5}}$

$D = 0$ のとき $Y = \frac{4(k-2)}{10} = \frac{2(k-2)}{5}$

$X = k - 2Y = k - \frac{4(k-2)}{5} = \frac{k+8}{5}$

$\frac{2(k-2)}{5} \geq 0 \implies k \geq 2$

$\frac{k+8}{5} \geq 0 \implies k \geq -8$

$k \geq 2$

$y = 1$ のとき $(\log_3 x - 2)^2 = 5$, $\log_3 x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$. よって$x = 3^{2+\sqrt{5}}, 3^{2-\sqrt{5}}$。

最小となるのは $x = 3^{2-\sqrt{5}}$ のときなので、 $xy^2 = 3^{2-\sqrt{5}}$。

$x=1$ のとき、$(\log_3 y)^2 = 5, \log_3 y = \pm \sqrt{5}$ よって$y = 3^{\sqrt{5}}, 3^{-\sqrt{5}}$. これは$y \geq 1$ に反する。

(2-\sqrt{5} , 1) の時、最小値を取る。

3. 最終的な答え

(1) (a) ア: 6 (b) イ: 6 (c) ウエ: 0.83

(2) オカ: 36, キク: 12

(3) ケ: 2, コ/サ: 8/3

(4) シ: 3^(2-sqrt(5))