弁当屋が、売れ残り状況に応じて割引シールを貼り、弁当を販売する。19時以降の販売実績に基づき、いくつかの条件下での売り上げの総利益を計算し、特定の条件を満たすxの範囲を求める。xは19時に売れ残っている弁当の個数を示す。

1. 問題の内容

弁当屋が、売れ残り状況に応じて割引シールを貼り、弁当を販売する。19時以降の販売実績に基づき、いくつかの条件下での売り上げの総利益を計算し、特定の条件を満たすxの範囲を求める。xは19時に売れ残っている弁当の個数を示す。

2. 解き方の手順

(1) x=30, x=50のときに19時から21時まで定価で販売した場合の総利益を求める。

定価は500円、原価は150円なので、1個あたりの利益は 500 - 150 = 350円。

x個すべて売れた場合、総利益は 350x となる。

(i) x = 30 のとき、1時間あたり20個売れるため、2時間で最大40個売れる。したがって、すべて売れる。

総利益は、$350 \times 30 = 10500$ 円。

(ii) x = 50 のとき、2時間で最大40個売れるため、10個残る。

売れた40個の利益は $350 \times 40 = 14000$ 円。

残った10個の損失は $150 \times 10 = 1500$ 円。

総利益は $14000 - 1500 = 12500$ 円。

(2) 19時から21時まで20%引きで販売する場合、売り上げ総利益が14000円以上となるようなxの範囲を求める。

20%引きの場合、販売価格は 500 x 0.8 = 400円。1個あたりの利益は 400 - 150 = 250円。

1時間あたり30個売れるため、2時間で最大60個売れる。

(i) $x \le 60$ の場合、すべて売れる。

総利益は $250x$ 円。

$250x \ge 14000$ を解くと $x \ge 56$。

したがって、 $56 \le x \le 60$。

(ii) $x > 60$ の場合、60個売れて $x - 60$ 個残る。

売れた60個の利益は $250 \times 60 = 15000$ 円。

残った $x - 60$ 個の損失は $150(x - 60)$ 円。

総利益は $15000 - 150(x - 60)$ 円。

$15000 - 150(x - 60) \ge 14000$ を解くと $15000 - 150x + 9000 \ge 14000$ より

$10000 \ge 150x$ つまり $x \le \frac{10000}{150} = \frac{200}{3} \approx 66.67$。

したがって、 $60 < x \le 66$。

(i)(ii)より、$56 \le x \le 66$。

(3) $71 \le x \le 100$ のとき、販売方法[B]の総利益が[A]の総利益よりも多くなるようなxの範囲を求める。

[A] 19時から20時まで定価で販売し、20時から21時まで半額で販売。

[B] 19時から20時まで20%引きで販売し、20時から21時まで半額で販売。

(i) [A]の場合

19時から20時までに20個売れる。利益は $350 \times 20 = 7000$ 円。

20時から21時までに残った $x-20$ 個のうち、半額(250円)で売れるのは最大50個。

利益は 250 - 150 = 100円なので、$100 \times 50 = 5000$ 円。

$x-20 > 50$ の場合、残るのは $x - 70$ 個。損失は $150(x - 70)$ 円。

したがって総利益は $7000+5000 - 150(x-70) = 12000 - 150x + 10500 = 22500 - 150x$

$x \le 70$ の場合、すべての $x-20$ 個が半額で売れる。

総利益は $7000 + (x-20) \times 100 = 7000+100x - 2000 = 5000+100x$

(ii) [B]の場合

19時から20時までに30個売れる。利益は $250 \times 30 = 7500$ 円。

20時から21時までに残った $x-30$ 個のうち、半額(250円)で売れるのは最大50個。

利益は 250 - 150 = 100円なので、$100 \times 50 = 5000$ 円。

$x-30 > 50$ の場合、残るのは $x - 80$ 個。損失は $150(x - 80)$ 円。

総利益は $7500+5000 - 150(x-80) = 12500 - 150x + 12000 = 24500 - 150x$

$x \le 80$ の場合、すべての $x-30$ 個が半額で売れる。

総利益は $7500 + (x-30) \times 100 = 7500+100x - 3000 = 4500+100x$

ここで$71 \le x \le 100$なので、[A]の総利益は$22500-150x$、[B]の総利益は$24500-150x$

$24500 - 150x > 22500 - 150x$

$2000 > 0$

これは常に成り立つため、$71 \le x \le 100$のすべてのxで、[B]の販売方法が[A]の販売方法より利益が大きい。

3. 最終的な答え

(1) x=30のとき10500円、x=50のとき12500円

(2) $56 \le x \le 66$

(3) $71 \le x \le 100$