弁当屋の売り上げに関する問題です。弁当の定価は500円、原価は150円です。19時に売れ残った弁当を、20%引き(400円)または半額(250円)で販売します。19時から21時までの販売方法と売れ残り個数に応じて、売り上げの総利益を計算し、条件を満たす売れ残り個数の範囲を求めます。 (1) 19時から21時まで定価で販売する場合について、売れ残り個数$x$が30個と50個の場合の総利益を求めます。 (2) 19時から21時まで20%引きで販売する場合について、総利益が14000円以上になるような$x$の値の範囲を求めます。 (3) 売れ残り個数$x$が71個以上100個以下の場合について、以下の2つの販売方法[A]と[B]を比較し、[B]の販売方法が[A]の販売方法よりも総利益が多くなるような$x$の値の範囲を求めます。 [A] 19時から20時まで定価で販売し、20時から21時まで半額で販売 [B] 19時から20時まで20%引きで販売し、20時から21時まで半額で販売

1. 問題の内容

弁当屋の売り上げに関する問題です。弁当の定価は500円、原価は150円です。19時に売れ残った弁当を、20%引き(400円)または半額(250円)で販売します。19時から21時までの販売方法と売れ残り個数に応じて、売り上げの総利益を計算し、条件を満たす売れ残り個数の範囲を求めます。

(1) 19時から21時まで定価で販売する場合について、売れ残り個数$x$が30個と50個の場合の総利益を求めます。

(2) 19時から21時まで20%引きで販売する場合について、総利益が14000円以上になるような$x$の値の範囲を求めます。

(3) 売れ残り個数$x$が71個以上100個以下の場合について、以下の2つの販売方法[A]と[B]を比較し、[B]の販売方法が[A]の販売方法よりも総利益が多くなるような$x$の値の範囲を求めます。

[A] 19時から20時まで定価で販売し、20時から21時まで半額で販売

[B] 19時から20時まで20%引きで販売し、20時から21時まで半額で販売

2. 解き方の手順

(1) $x = 30$のとき：

19時から21時まで定価で販売するので、2時間で$20 \times 2 = 40$個売れます。しかし、売れ残りは30個なので、30個売れて完売します。

利益は、$30 \times (500 - 150) = 30 \times 350 = 10500$円です。

$x = 50$のとき：

同様に、2時間で$20 \times 2 = 40$個売れます。しかし、売れ残りは50個なので、40個売れて10個残ります。

売れた弁当の利益は、$40 \times (500 - 150) = 40 \times 350 = 14000$円です。

売れ残った弁当の損失は、$10 \times 150 = 1500$円です。

総利益は、$14000 - 1500 = 12500$円です。

(2) 19時から21時まで20%引きで販売する場合：

2時間で$30 \times 2 = 60$個売れます。

総利益が14000円以上になる場合を考えます。

もし$x \le 60$の場合、$x$個全て売れるので、利益は$x \times (400 - 150) = 250x$円です。

$250x \ge 14000$を解くと、$x \ge 56$となります。したがって、$56 \le x \le 60$です。

もし$x > 60$の場合、60個売れて、$x - 60$個残ります。

利益は、$60 \times (400 - 150) - (x - 60) \times 150 = 60 \times 250 - 150x + 9000 = 15000 + 9000 - 150x = 24000 - 150x$円です。

$24000 - 150x \ge 14000$を解くと、$10000 \ge 150x$となり、$x \le \frac{10000}{150} = \frac{200}{3} = 66.66\cdots$となります。したがって、$60 < x \le 66$です。

よって、総利益が14000円以上になる$x$の範囲は、$56 \le x \le 66$となります。

(3) $71 \le x \le 100$の場合：

[A]の場合：

19時から20時までに20個定価で売れます。

20時から21時までに$x-20$個のうち、50個売れますが、$x - 20$が50より大きい場合、50個売れて残ります。

$x - 20 \le 50$の場合、つまり$x \le 70$の場合は、$x-20$個全て売れます。しかし、今回は$71 \le x \le 100$なので、$x-20$個全ては売れません。20時から21時は50個売れて残ります。しかし、今回は$x \ge 71$なので、$x-20 \ge 51$個あり、50個半額で売れて、$x-70$個が売れ残ります。

Aの利益：$20(500-150) + 50(250-150) - (x-70)150 = 20(350) + 50(100) - 150x + 10500 = 7000+5000 -150x + 10500 = 22500-150x$

[B]の場合：

19時から20時までに30個、20%引きで売れます。

20時から21時までに$x-30$個のうち、50個売れますが、$x - 30$が50より大きい場合、50個売れて残ります。

$x - 30 \le 50$の場合、つまり$x \le 80$の場合は、$x-30$個全て売れます。しかし、今回は$71 \le x \le 100$なので、$x-30$個全ては売れるとは限りません。

$x-30 \ge 50$であれば、50個が半額で売れて、$x - 80$個が売れ残ります。

$x-30 < 50$であれば、$x-30$個が半額で売れて、売れ残りは0個です。

$71 \le x \le 80$の場合:

Bの利益：$30(400-150) + (x-30)(250-150) = 30(250) + (x-30)100 = 7500 + 100x - 3000 = 4500+100x$

$81 \le x \le 100$の場合:

Bの利益：$30(400-150) + 50(250-150) - (x-80)150 = 30(250) + 50(100) - 150x + 12000 = 7500 + 5000 - 150x + 12000 = 24500 - 150x$

[B]の利益 > [A]の利益となる条件を求めます。

$71 \le x \le 80$の場合：

$4500+100x > 22500-150x$

$250x > 18000$

$x > 72$

よって、$73 \le x \le 80$

$81 \le x \le 100$の場合：

$24500-150x > 22500 - 150x$

$24500 > 22500$

これは常に成り立つので、$81 \le x \le 100$

したがって、$73 \le x \le 100$

3. 最終的な答え

(1) $x=30$のとき、総利益は10500円

$x=50$のとき、総利益は12500円

(2) $56 \le x \le 66$

(3) $73 \le x \le 100$