弁当屋で、定価500円の弁当を売り切るため、19時に20%引き（400円）または半額（250円）で販売する。原価は150円。売れ残った場合は1個あたり150円の損失となる。19時から21時までの売り上げ総利益を求める問題。 (1) 19時から21時まで定価で販売するとき、$x=30$ と $x=50$ の場合の総利益を求める。 (2) 19時から21時まで20%引きで販売するとき、総利益が14000円以上となる $x$ の範囲を求める。 (3) $71 \le x \le 100$ のとき、販売方法A（19-20時：定価、20-21時：半額）と販売方法B（19-20時：20%引き、20-21時：半額）を比較し、Bの総利益がAの総利益より多くなる $x$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

弁当屋で、定価500円の弁当を売り切るため、19時に20%引き（400円）または半額（250円）で販売する。原価は150円。売れ残った場合は1個あたり150円の損失となる。19時から21時までの売り上げ総利益を求める問題。

(1) 19時から21時まで定価で販売するとき、$x=30$ と $x=50$ の場合の総利益を求める。

(2) 19時から21時まで20%引きで販売するとき、総利益が14000円以上となる $x$ の範囲を求める。

(3) $71 \le x \le 100$ のとき、販売方法A（19-20時：定価、20-21時：半額）と販売方法B（19-20時：20%引き、20-21時：半額）を比較し、Bの総利益がAの総利益より多くなる $x$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

定価で販売した場合の利益は $500 - 150 = 350$ 円。

19時から21時の間に2時間で $20 \times 2 = 40$ 個売れる。

$x=30$ のとき：

完売するので、総利益は $350 \times (40+30) = 350 \times 70 = 24500$ 円

$x=50$ のとき：

完売するので、総利益は $350 \times (40+50) = 350 \times 90 = 31500$ 円

(2)

20%引きで販売した場合の利益は $400 - 150 = 250$ 円。

19時から21時の間に2時間で $30 \times 2 = 60$ 個売れる。

総利益が14000円以上となる $x$ の範囲を求める。

* $x \le 40$ のとき：

完売するので、総利益は $250 \times (60+x)$

$250 \times (60+x) \ge 14000$

$60+x \ge 56$

$x \ge -4$

$1 \le x \le 40$

総利益は$250(60+x)$。

* $x > 40$のとき：

総利益は $250 \times 60 - 150 \times (x - 40) = 15000 - 150x + 6000 = 21000 - 150x$

$21000 - 150x \ge 14000$

$7000 \ge 150x$

$x \le \frac{7000}{150} = \frac{140}{3} \approx 46.67$

$41 \le x \le 46$

したがって、$1 \le x \le 46$

(3)

販売方法A：19-20時は定価、20-21時は半額

販売方法B：19-20時は20%引き、20-21時は半額

$71 \le x \le 100$

販売方法Aの利益：

定価の利益は350円、半額の利益は $250 - 150 = 100$ 円。

19-20時に20個、20-21時に50個売れる。

総利益 = $350 \times 20 + 100 \times \min(50, x-20) - 150 \times \max(0, x-20-50)$

総利益=$7000+100\min(50,x-20) - 150 \max(0, x-70)$

販売方法Bの利益：

20%引きの利益は250円、半額の利益は100円。

19-20時に30個、20-21時に50個売れる。

総利益 = $250 \times 30 + 100 \times \min(50, x-30) - 150 \times \max(0, x-30-50)$

総利益 = $7500 + 100\min(50, x-30) - 150\max(0, x-80)$

販売方法Bの利益 > 販売方法Aの利益

$7500 + 100\min(50, x-30) - 150\max(0, x-80) > 7000 + 100\min(50, x-20) - 150 \max(0, x-70)$

$500 + 100(\min(50, x-30) - \min(50, x-20)) > 150 (\max(0, x-80) - \max(0, x-70))$

場合分け:

* $71 \le x \le 80$:

$500 + 100 ((x-30) - (x-20)) > 150(0-0)$

$500 - 1000 > 0$

$-500 > 0$ これは成立しない

* $81 \le x \le 100$:

$500 + 100((x-30) - (x-20)) > 150((x-80) - (x-70))$

$500 - 1000 > 150(x-80-x+70)$

$-500 > 150(-10)$

$-500 > -1500$ これは成立する

したがって $81 \le x \le 100$

3. 最終的な答え

(1) $x=30$のとき、24500円。$x=50$のとき、31500円。

(2) $1 \le x \le 46$

(3) $81 \le x \le 100$