$t=0$ における物体の初期位置が $(2, 10)$ で、加速度が $(3, 2t+4)$ である。この物体の任意の時間 $t$ における加速度、速度、位置を求める。

1. 問題の内容

$t=0$ における物体の初期位置が $(2, 10)$ で、加速度が $(3, 2t+4)$ である。この物体の任意の時間 $t$ における加速度、速度、位置を求める。

2. 解き方の手順

まず、加速度を時間で積分して速度を求めます。次に、速度を時間で積分して位置を求めます。初期条件を用いて積分定数を決定します。

(1) 加速度 $\mathbf{a}(t)$ は与えられています。

$\mathbf{a}(t) = (3, 2t+4)$

(2) 速度 $\mathbf{v}(t)$ は加速度の積分です。

$\mathbf{v}(t) = \int \mathbf{a}(t) dt = \int (3, 2t+4) dt = (3t + C_1, t^2 + 4t + C_2)$

初期条件より、 $t=0$ で $\mathbf{v}(0) = (3, 0)$ なので、

$(3(0) + C_1, 0^2 + 4(0) + C_2) = (3, 0)$

$(C_1, C_2) = (3, 0)$

したがって、速度は

$\mathbf{v}(t) = (3t + 3, t^2 + 4t)$

(3) 位置 $\mathbf{r}(t)$ は速度の積分です。

$\mathbf{r}(t) = \int \mathbf{v}(t) dt = \int (3t + 3, t^2 + 4t) dt = (\frac{3}{2}t^2 + 3t + D_1, \frac{1}{3}t^3 + 2t^2 + D_2)$

初期条件より、$t=0$ で $\mathbf{r}(0) = (2, 10)$ なので、

$(\frac{3}{2}(0)^2 + 3(0) + D_1, \frac{1}{3}(0)^3 + 2(0)^2 + D_2) = (2, 10)$

$(D_1, D_2) = (2, 10)$

したがって、位置は

$\mathbf{r}(t) = (\frac{3}{2}t^2 + 3t + 2, \frac{1}{3}t^3 + 2t^2 + 10)$

3. 最終的な答え

加速度: $\mathbf{a}(t) = (3, 2t+4)$

速度: $\mathbf{v}(t) = (3t+3, t^2+4t)$

位置: $\mathbf{r}(t) = (\frac{3}{2}t^2 + 3t + 2, \frac{1}{3}t^3 + 2t^2 + 10)$