内径 $R_1$、外径 $R_2$、高さ $H$、密度 $\rho$ の中空円柱の中心軸回りの慣性モーメントを求める問題です。

1. 問題の内容

内径 $R_1$、外径 $R_2$、高さ $H$、密度 $\rho$ の中空円柱の中心軸回りの慣性モーメントを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、半径 $r$、高さ $H$、密度 $\rho$ の円柱の慣性モーメント $I$ は、

$I = \frac{1}{2} m r^2$

で表されます。ここで、$m$ は円柱の質量であり、$m = \rho V = \rho \pi r^2 H$ です。

したがって、

$I = \frac{1}{2} (\rho \pi r^2 H) r^2 = \frac{1}{2} \rho \pi H r^4$

となります。

中空円柱の慣性モーメントは、外径 $R_2$ の円柱の慣性モーメントから、内径 $R_1$ の円柱の慣性モーメントを引くことで求められます。

外径 $R_2$ の円柱の慣性モーメント $I_2$ は、

$I_2 = \frac{1}{2} \rho \pi H R_2^4$

内径 $R_1$ の円柱の慣性モーメント $I_1$ は、

$I_1 = \frac{1}{2} \rho \pi H R_1^4$

したがって、中空円柱の慣性モーメント $I$ は、

$I = I_2 - I_1 = \frac{1}{2} \rho \pi H R_2^4 - \frac{1}{2} \rho \pi H R_1^4 = \frac{1}{2} \rho \pi H (R_2^4 - R_1^4)$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \rho \pi H (R_2^4 - R_1^4)$

選択肢 A が正解です。